序幕

與魔鬼的靈魂交易

代數是魔鬼給數學家的開價。魔鬼說：“我可以給你這個強有力的機器，它可以回答你要問的任何問題。你只需交出你的靈魂，放棄幾何，然后你就可以得到這個非凡的機器。”……這就是我們的靈魂所遭受的危險：一旦跨入代數計算，你基本上就停止了思考。當你止步于幾何思考時，你也就不再考慮真正有意義的問題了。1

——邁克爾 · 阿蒂亞爵士23。

1阿蒂亞爵士的這段話是仿照歌德的名著《浮士德》寫的。考慮到多數讀者不一定熟悉這部偉大的經典，下面簡述其大概。
　　浮士德是一位學者，他懸梁刺股、皓首窮經，希望能得到宇宙的真理。為此，他甚至迷失了人生的意義，得不到生活下去的勇氣。于是他向魔鬼求救。魔鬼提出的條件是“出賣你的靈魂，你就可以得到一切”。可是這一切都是虛幻的，就在浮士德陷入永遠沉淪的關頭，上帝終于出手挽救了他的靈魂。
　　阿蒂亞在此以浮士德自喻，那么，是誰最終挽救他于終生沉淪？這一點值得我們深入思考。
　　我們前面講到魔鬼的“開價”和上帝的挽救。這些當然只是比喻的說法，實際上只是阿蒂亞本人的思想。但是這些思想應該有一個起源。這是一個很值得注意的問題，對于我們理解全書大有好處。
　　有一個著名的數學史網站 MacTutor，其中關于阿蒂亞的條目就很合用。
　　阿蒂亞當時正在研究橢圓算子的指標問題，這當然是一個幾何問題。為了解決這個問題，他參與發(fā)展 K 理論，終于得到了著名的指標定理，他因此獲得了 1966 年的菲爾茲獎。本書中文版譯者限于自己的知識水平，不可能介紹這方面的具體知識，但是有一點是很清楚的：前面關于魔鬼的話，其實都是阿蒂亞本人在學術上走過的道路的表現。據說阿蒂亞說過這樣的話：你們老在說代數，那么幾何到哪里去了呢？這樣，當我們在下面轉入正文時，將主要討論他在幾何上的思想。——齊民友注

2阿蒂亞爵士（1929—2019），英國數學家，曾任英國皇家學會會長。——譯者注

3《20 世紀的數學》（Mathematics in the 20th Century, Shenitzer & Stillwell, 2002, 第 6 頁）