5.3　偽球面的共形地圖

為了創建類似于歐幾里得平面的無限雙曲平面地圖，首先在復平面 上構作偽球面的共形地圖。在地圖上選擇角 作為橫軸，見圖 5-4b。于是偽球面的曳物線母線就是縱軸。偽球面上坐標為 的點在地圖上表示為直角坐標為 的點，我們把它看作復數 。

如果對地圖沒有特別的要求，可以簡單地選擇 為 和 的任意函數。但現在我們要求地圖必須是共形的，即必須將偽球面上的無限小4三角形映射為地圖上的相似無限小三角形，更一般地，必須將偽球面上的任何小圖形映射為地圖上看起來同樣的圖形（僅大小不同）。在決定繪制這樣一張共形地圖之后，我們就不能隨意選擇 坐標了。為什么呢？首先，由 常數 表示的曳物線母線正交于由 常數 表示的橫截圓周，所以它們在共形地圖中的像也是正交的。因此， 常數 的像一定是地圖上的水平直線 常數。由此我們推斷， 是只與變量 有關的函數。

4這一次，我們寧愿用“無限小”這個直觀、簡便的詞，而不用“最終相等”這個嚴格的表述。

其次，考慮在偽球面的橫截圓周 常數（半徑為 ）上連接點 和 的弧。如圖 5-4 所示，根據 的定義，這段弧對應的圓心角為 ，所以它在偽球面上的弧長為 。這兩個點在地圖上的像有相同的高度，它們之間的距離為 。因此，偽球面上的這段弧被映射為地圖上的直線段，伸縮因子為 。

因為地圖是共形的，所以從點 出發，沿任意方向的無窮小線段都具有相同的伸縮因子 。換句話說，度量公式為

最后，考慮圖 5-4a 中偽球面最上面的黑色圓盤。設想這是一個無窮小圓盤，例如它的直徑為 。在地圖上，它的像是另一個圓盤，其直徑為 ，這個像的直徑可以更生動地解釋為：觀察者站在偽球面的軸上，并且與原像圓盤保持在同一高度，看向原像圓盤的視角。5假設我們將偽球面上的圓盤向下移動，每次移動距離 ，直至到達偽球面的邊緣。圖 5-4a 展示了由此產生圓盤鏈，它們彼此相切，大小相同。當圓盤沿偽球面向下移動時，它距離軸越來越遠，從軸上相同的高度來觀察它，視角會越來越小。因此，在地圖上的像圓盤似乎會隨著向下移動而逐漸縮小。在圖 5-4a 中，偽球面上三個相距 的黑色圓盤是大小相同的，但是它們在圖 5-4b 所示地圖中的像圓盤就大小不同了。

5站得越高， 越小，偽球面距離軸越近。在軸上觀看偽球面上圓盤的視角越大，地圖上的圓盤就越大。——譯者注

對偽球面的地圖有了一定的了解之后，我們實際計算一下偽球面上的點 在地圖上對應的 坐標。根據以上觀察（或者直接根據圖 5-4 中三角形是相似的這一要求），我們有

其中 為常數。 的標準選擇是 ，從而

于是，整個偽球面在地圖上的像完全在直線 （這是偽球面邊緣的像）的上方，用地圖坐標表示的度量公式為

為了方便后續使用，注意地圖中一個邊長分別為 和 的無限小矩形在偽球面上的原像是一個與之相似、邊長分別為 和 的無限小矩形。因此，偽球面上的真實面積 與地圖上看到的面積 有如下關系：

［當然，這個公式是式 (4.12) 在 時的特例。］