5.2　曳物線和偽球面

貝爾特拉米已經知道，圖 2-6 所示的偽球面確實是具有常負曲率 的曲面，其中 為底圓半徑。（我們將在本節中證明這個事實。）更具體地說，他認識到這個曲面的局部幾何服從羅巴切夫斯基和波爾約的抽象非歐幾何定律。這種抽象的雙曲幾何學被理解為發生在一個無限的雙曲平面上，這個平面與歐幾里得平面幾乎一模一樣，服從歐幾里得幾何的前四個公設，但是平行線服從雙曲公設 (1.1)，而不是歐幾里得幾何的平行公設。

盡管偽球面的常負曲率可以確保它忠實地體現這個公設的局部結果，但是偽球面仍然不會成為整個雙曲平面的模型。這是因為，它在兩個方面與是歐幾里得平面不同：(1) 偽球面類似于一個圓柱面，而不是平面；(2) 偽球面上的一條線段不能沿兩個方向無限延長，它會撞到邊緣。（正如我們之前提到的，希爾伯特在 1901 年發現，這樣的邊緣是所有常負曲率曲面的基本特征——這不是內蘊的，而是試圖迫使這樣的曲面適應普通歐幾里得三維空間造成。）

貝爾特拉米認識到了這兩個障礙，下一節將說明，他如何通過構作一個偽球面的共形映射，一下子就克服了這兩個障礙。現在還是先考慮如何構作偽球面。

試試下面的實驗。拿一個小而重的物體（例如鎮紙），在上面系一根細繩。現在把物體放在桌面上，并讓細繩與桌面邊緣垂直，然后沿著桌面邊緣移動細繩的自由端來拖動它。你會看到重物沿著圖 5-2 所示的曲線移動， 軸代表桌面邊緣。這條曲線稱為曳物線， 軸（曲線漸近地接近它）稱為曳物線的軸。牛頓在 1676 年首先研究了曳物線。

如果細繩的長度為 ，那么軌跡線具有如下幾何性質：從一個切點到相應切線與 軸交點的長度為常數 。牛頓認為這是與曳物線的定義等價的性質。

回到圖 5-2，設 為曳物線的弧長， 對應于所拖動物體的起始位置 。當物體將要通過 時，令 表示當物體沿著曳物線移動一段距離 時 發生的微小變化。從圖 5-2 中兩個三角形的最終相似性，可以推出

因此

現在讓曳物線繞其軸旋轉一周，生成圖 2-6 所示的曲面，這就是半徑為 的偽球面。（圖 5-3 展示了作者自己制作的偽球面。）1839 年，高斯的學生明金就知道這個曲面具有常曲率，該發現成為雙曲幾何受到關注的催化劑。值得注意的是，早在此約一個半世紀前（1693 年），克里斯蒂安 · 惠更斯就研究過這個曲面。

為了證明偽球面的曲率不變性，先求其度量公式，為此要建立一個好用的坐標系。我們著手在偽球面上建立一個非常自然的正交坐標系。看看圖 5-4a（請先忽略圖 5-4b）。要建立坐標系，對于曲面上任意指定的一點，我們要回答兩個問題：(i) 這個點在哪一條曳物線母線上？(ii) 這個點在這條母線的什么地方？我們指定 為曳物線繞其軸的旋轉角，這就回答問題 (i)；指定 為從曳物線底部到這一點的弧長，這就回答了問題 (ii)。

曲線 常數 是偽球面的曳物線母線（它們顯然都是測地線2），曲線 常數 是偽球面的橫截圓周（它們顯然不是測地線）。這個橫截圓周的半徑是圖 5-2 中的 坐標，所以，由式 (5.1) 有

2由對稱性可知，任何旋轉曲面的經線都是測地線。

如圖 5-4a 所示，增量 使得點 走過的弧長為 。于是，度量公式為

最后，將式 (5.2) 代入曲率公式 (4.10)，得到

從而證實了以下關于雙曲幾何的關鍵事實，這就是貝爾特拉米需要解釋的：

這個命題具有重要的數學意義和歷史意義，在本書中我們會盡可能直接地給出它的幾何解釋。事實上，后面會給出這個命題的兩個幾何證明：在第三幕用外在幾何證明，在第四幕用內蘊幾何證明。

在繼續討論之前，我們建議你自己做一個偽球面！除此之外，我們實在想不出更好的方法來建立對偽球面的幾何感覺。為理解這個結構背后的想法，可以想象旋轉圖 5-2 來構作偽球面。在這個過程中，無論拖拽物體的位置在哪里，因為拖動物體的細繩長為 ，下端與曳物線相切，上端在 軸上，旋轉的細繩總是生成固定母線長度 的（與偽球面相切的）圓錐面。

準備一摞紙，盡可能多（但要剪得動），沿三條邊釘在一起。拿一個可以放在紙內的最大圓形碗碟，在紙上描出它的邊緣，沿著這個圓切出相同的圓盤。重復這個步驟，直到你擁有至少 20 個圓盤——越多越好！在第一個圓盤上剪一個小楔口，把邊緣粘到一起，形成一個很淺的圓錐面。取出下一個圓盤，剪出稍微大一點兒的楔口3，把邊緣粘在一起，做成一個稍微高一點兒的圓錐面，但仍具有相同的母線長度。把這個新的圓錐面放在之前的圓錐面上，然后重復、再重復……你就可以看到自己親手做的偽球面了！

3在實際操作中更簡單的做法是，剪一個徑向狹縫，然后重疊紙張形成圓錐面。