高斯曲率

12. 零曲率。利用第 15 頁腳注 1 介紹的方法，或者其他方法，做些窄膠帶，最好用彩色美紋膠帶。然后利用方法 (1.7) 實(shí)施以下實(shí)驗(yàn)。

(i) 將一張紙卷成一個(gè)圓錐面，用膠帶粘一下，防止它展開。從圓錐面邊緣上的一點(diǎn)開始，用準(zhǔn)備好的窄膠帶引出一條長的測地線。在開始粘膠帶之前，先猜猜它會(huì)是什么形狀的。然后，從邊緣上的同一點(diǎn)開始，用窄膠帶沿不同的方向引出一些新的測地線。

(ii) 接著，構(gòu)作一個(gè)測地線三角形，并用量角器證實(shí) 。（對于圓錐面上所有的測地線三角形都是如此，從而證實(shí) 。）

(iii) 最后，沿一條母線將圓錐面剪開，將紙重新展平，觀察圓錐面上的膠帶展開在平面上的形狀。

13. 正曲率。準(zhǔn)備一個(gè)近似于球形的水果（例如西瓜），測量它的半徑，記為 。在選定為北極的點(diǎn)插一根牙簽。找一根細(xì)繩，把一端系在固定的牙簽上，然后拉緊細(xì)繩使之緊貼在球面上，并使得另一端位于北極到赤道約一半的位置上。測量這段長度，記為 ，這就是球面上這段測地線的長度。在自由端系一支筆，拉緊細(xì)繩，拖著筆畫一條緯線，記緯線的長度為 。在剛畫出的這條緯線上插 16 根牙簽，將它 16 等分。再用一根細(xì)繩沿這些牙簽組成的圓圈繞一圈，輕輕拉緊使之與緯線吻合。用筆小心標(biāo)記細(xì)繩一圈的首尾兩點(diǎn)。解開細(xì)繩，測量首尾兩點(diǎn)之間的長度，這個(gè)長度就是 。

(i) 將最終相等公式 (2.4) 看作一個(gè)近似公式，算出 。從這個(gè)內(nèi)蘊(yùn)測量值算出水果的外在半徑 ，與你實(shí)際測得的 比較。

(ii) 繼續(xù) (i)，假設(shè)你測得的 和 都是精確的。 是 (i) 中利用式 (2.4) 算出來的值（即，沒有使用最終相等隱含的極限），利用 的（交替遞減的）泰勒展開式第 3 項(xiàng)計(jì)算的相對誤差上界為

證明：無論作多大的圓周，誤差都不會(huì)大于 3%。

(iii) 利用 (ii) 得到的結(jié)果，建立一個(gè)估計(jì) 的相對誤差上界的公式。

14. 負(fù)曲率。利用第 15 頁腳注 1 介紹的方法，或者其他方法，做些窄膠帶，最好用彩色美紋膠帶。然后利用方法 (1.7) 實(shí)施以下實(shí)驗(yàn)。

(i) 按照第 59 頁圖 5-3 的相關(guān)說明，用半徑為 的圓盤親手做一個(gè)偽球面，錐越多越好、越大越好！

(ii) 偽球面是由曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)生成的，它的母線是曳物線。在底圓周上的一點(diǎn)，沿不同方向引出多條測地線。在曲面上粘膠帶之前，先猜想一下這些測地線的走向。因?yàn)橐诎记嫔险吵鲚^長的測地線，所以當(dāng)一段膠帶粘完后，就用新的膠帶重疊一段接著粘下去。除了經(jīng)線（即旋轉(zhuǎn)面的母線，也是測地線）一直向上延伸外，其他方向的測地線在偽球面上都是先向上、再向下、最終回到底圓。

(iii) 構(gòu)作一個(gè)測地線直角三角形 ，測量它的各個(gè)角，求出角盈 。盡你所能估算它的面積 。利用

求出這個(gè)偽球面的常曲率 。

(iv) 三角形越大，角盈 的絕對值就越大，測量起來就越容易、越準(zhǔn)確。這樣做的代價(jià)是準(zhǔn)確測量面積 越來越難。可以采用以下方法克服這個(gè)困難。準(zhǔn)備一些同樣寬度的窄膠帶，寬度為 （例如 6 毫米），用這些膠帶一條一條地剛好粘滿三角形 。然后將膠帶逐條取下來，首尾相接地鋪在平坦表面上，測量其總長度 。于是 。

(v) 重復(fù) (iii) 的過程構(gòu)作更多三角形，可以不是直角三角形，因?yàn)橛?(iv) 的方法可以測量任意三角形的面積 。驗(yàn)證所有的三角形（在實(shí)驗(yàn)誤差內(nèi)）都具有相同的 。

(vi) 假設(shè)

計(jì)算 ，并與你用于構(gòu)作偽球面的圓盤的實(shí)際半徑比較。