歐幾里得幾何與非歐幾何

5. 我們無法確定古巴比倫人是如何算出圖 1-2 所示的畢達哥拉斯三元組的，但我們知道：在 1500 多年后（公元前 300 年左右），歐幾里得是第一個敘述并證明生成這種三元組最一般公式的人；在 2000 多年后（公元 250 年左右），丟番圖2是第一個利用幾何構作法3生成單位圓上的全部有理點（即坐標為有理數的點）的人。可以利用這些有理點構作畢達哥拉斯三元組，如下所示。

2人們對他的生平知之甚少，參見 Stillwell (2010, 3.6 節)。

3這是牛頓利用弦和切線生成立方曲線上有理點的原型，見 Stillwell (2010, 3.5 節)。

(i) 已知 是單位圓周 上的一點， 是經過點 的直線 ， 是 與 的另一個交點。證明：

　且　

(ii) 證明：如果斜率 為有理數，則 和 也是有理數，即

　且　

(iii) 證明：如果 是畢達哥拉斯三元組，則存在整數 和 使得

　且　

(iv) 證明：對于任意整數 ，若

　且　　且　

則 是畢達哥拉斯三元組。這就是歐幾里得最先得出的畢達哥拉斯三元組的最一般公式。

6. 利用式 (1.3) 證明：當球面上的三角形面積收縮到 0 時，球面上的居民認為它最終就是歐幾里得幾何的，也就是內角和等于 。

7. 設 和 是球面上兩個不同的點，并且不是對徑點。于是有唯一的大圓 經過這兩個點，并且被 和 分成兩段弧。設 和 分別是這兩段弧的中點。證明：與 和 等距的點的軌跡是經過 和 的大圓，并且與 垂直相交，這就是弧 的廣義“中垂線”。（提示：想象通過旋轉球面使得 和 位于赤道上，這在心理上有幫助，但在數學上無關緊要。）

8. 證明：如果單位球面 上三角形每條邊的長度都小于 ，則這個三角形包含在一個半球面里。（提示：想象通過旋轉球面使得這個三角形的一個頂點位于北極點，這在心理上有幫助，但在數學上無關緊要。）

9. 歐幾里得平面具有的特征之一是正則鋪砌，即平面可以用正多邊形密鋪（無縫地鋪滿）。平面有且只有三種正則鋪砌，即正三角形、正方形和正六邊形。球面也有正則鋪砌。想象一個正二十面體的線框內接在一個半徑為 的球面中。這時，再想象球心上有一個光源照射出來，于是線框在球面上留下陰影（稱為“中心投影”），如圖 3-1 所示。正二十面體由 20 個正三角形圍成，用直線連接每個正三角形的中心與其三個頂點和三條邊的中點，將正三角形進一步分割成 6 個全等三角形。這樣就得到了一個內接于球面、由全等三角形的邊組成的線框。

(i) 解釋為什么正二十面體的棱在球面上的影子是大圓，從而生成了真正的球面三角形。

(ii) 假設在球面內接一個正十二面體。正十二面體由 12 個正五邊形圍成，用直線連接每個正五邊形的中心與其五個頂點和五條邊的中點，將正五邊形分割成 10 個全等三角形。這樣就得到了一個內接于球面、由全等三角形的邊組成的線框。驗證這也是正則鋪砌。

(iii) 這樣，整個（面積為 的）球面分成了幾個全等三角形？每個三角形的面積 是多少？

(iv) 通過觀察，確定每個頂點有幾個角聚在一起。證明三角形的內角分別是 。由此計算每個三角形的角盈 。

(v) 證明以上兩個答案與哈里奧特定理 (1.3) 是一致的。

10. (i) 證明：在歐幾里得幾何里，四邊形的內角和為 。

(ii) 如果 是半徑為 的球面上的測地線四邊形，則其角盈為

的內角和

畫一條對角線將 分割成兩個測地線三角形，證明式 (1.3) 可以推廣為

(iii) 證明式 (2.2)，由此 (ii) 的結論可以推廣到球面上的測地線 邊形。

11. 利用第 15 頁腳注 1 介紹的方法，或者其他方法，做些窄膠帶，最好用彩色美紋膠帶。然后利用方法 (1.7) 在如第 145 頁圖 11-7 所示花瓶表面實施以下實驗。（如果你沒有這樣的花瓶，建議你去借一個。這個實驗非常有趣，不要錯過了。）

(i) 在半徑最大的水平圓上選取一點（這個半徑記為 ），從這一點出發，向花瓶上部引出一條測地線，這樣就產生了旋轉曲面上的一條經線。

(ii) 從同一點出發，先選擇一個較小的 ，沿著與經線夾角為 的方向引出一條測地線，然后選擇越來越大的 ，引出多條測地線。

(iii) 注意：在開始時這條測地線向花瓶上方延伸，當與經線的夾角 超過某個臨界值 時，測地線調轉方向，向花瓶下方延伸。

(iv) 盡你所能找到臨界測地線（將調轉方向和不調轉方向的測地線分開的那條測地線）。用量角器在起點處測量臨界角 。注意：為了找到臨界測地線，可能需要畫出超長的測地線段，你可以用圖 1-9 中介紹的方法，將已有的測地線一段一段地加長。

(v) 設 是花瓶的最大半徑（測地線起點所在的水平圓，即花瓶最粗處的半徑）， 是花瓶的最小半徑（花瓶最細處的半徑）。可以通過測量直徑除以 2 得到盡可能準確的半徑值。4現在請驗證（在實驗的誤差范圍內）

4測量花瓶的最大和最小直徑，需要用三根較長的直尺（或類似的材料）做成一個三條邊的矩形規。而測量周長只需要一條軟尺，用測量到的周長除以 即得半徑值。——譯者注

（這只是克萊羅定理5的物理示例，我們將在 11.7.4 節證明這個定理。）

5克萊羅（1713—1765），法國數學家，于 1743 年出版著作《關于地球形狀的理論》并在其中首次提出了該定理，它給出了地球幾何扁率與重力扁率的數學關系。——譯者注