1.11 VAR/VEC模型預(yù)測(cè)

1.11.1 預(yù)測(cè)值計(jì)算

1. var和svar后的預(yù)測(cè)

帶有內(nèi)生變量y_t和外生變量x_t的VAR可以寫(xiě)成：

其中，t=1，…，T，y_t=（y_1t，…，y_Kt）′是一個(gè)K×1的隨機(jī)向量，A_i是固定的K×K參數(shù)矩陣，x_t是一個(gè)M×1的外生變量向量，B是一個(gè)K×M的系數(shù)矩陣，v是一個(gè)固定參數(shù)的K×1矢量，以及u_t被認(rèn)為是白噪聲，也就是說(shuō)，

fcast compute命令將動(dòng)態(tài)地預(yù)測(cè)矢量y_t中的變量，條件是內(nèi)生變量的p初始值和任何外生的x_t。采用Lütkepohl（2005，402）的符號(hào)來(lái)適應(yīng)目前的情況，以x_t為條件對(duì)y_t+h的最佳h步預(yù)測(cè)是

如果沒(méi)有外生變量，式（1-91）變?yōu)?/p>

當(dāng)沒(méi)有外生變量時(shí)，fcast compute可以計(jì)算出漸近的置信界限。如Lütkepohl（2005，204-205）所示，預(yù)測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣的漸近估計(jì)值為

其中，

式中，Σ是殘差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣的估計(jì)，Σ_β是VAR中系數(shù)的估計(jì)的VCE。式（1-91）中的各項(xiàng)是通用的，足以處理對(duì)VAR（p）中的系數(shù)施加約束的情況。

式（1-95）是由兩個(gè)項(xiàng)組成的。Σ_y（h）是預(yù)測(cè)的估計(jì)平均平方誤差（MSE）。估計(jì)的是由于未見(jiàn)的創(chuàng)新引起的預(yù)測(cè)誤差。T-1Ω（h）估計(jì)的是由于使用估計(jì)的系數(shù)而不是真實(shí)的系數(shù)而導(dǎo)致的預(yù)測(cè)誤差。隨著樣本量的增加，關(guān)于系數(shù)估計(jì)的不確定性減少，T-1Ω（h）歸于零。

如果y_t是正態(tài)分布，那么對(duì)提前h個(gè)時(shí)期y_t的第k個(gè)分量的預(yù)測(cè)的漸近（1-α）100%區(qū)間的界限為

其中，是的第k個(gè)對(duì)角線元素。

指定bs選項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致使用自舉殘差通過(guò)模擬計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差。var和svar都是包含VAR系數(shù)的估計(jì)量，這些估計(jì)量以數(shù)據(jù)中內(nèi)生變量的第一次觀察為條件。同樣地，這些算法以數(shù)據(jù)中內(nèi)生變量的首次觀察為條件。然而，基于模擬的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)也取決于估計(jì)的系數(shù)。

漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差不以系數(shù)估計(jì)為條件，因?yàn)槭剑?-95）右側(cè)的第二項(xiàng)說(shuō)明了使用估計(jì)參數(shù)產(chǎn)生的不確定性。

對(duì)于一個(gè)有R次重復(fù)的模擬，該方法使用以下算法：

（1）擬合模型并保存估計(jì)的系數(shù)。

（2）使用估計(jì)的系數(shù)來(lái)計(jì)算殘差。

（3）重復(fù)步驟①～③R次。

①?gòu)臍埐钪谐槿∫粋€(gè)大小為T+h的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。當(dāng)抽取第t個(gè)觀察值時(shí)，所有的K個(gè)殘差都被選中，保留殘差之間的任何同期相關(guān)性。

②使用抽出的殘差、內(nèi)生變量的p初始值、任何外生變量和估計(jì)的系數(shù)來(lái)構(gòu)建一個(gè)新的樣本數(shù)據(jù)集。

③保存自舉數(shù)據(jù)集中h個(gè)預(yù)測(cè)期的模擬內(nèi)生變量。

（4）對(duì)于每個(gè)內(nèi)生變量和每個(gè)預(yù)測(cè)期，模擬標(biāo)準(zhǔn)誤差是R模擬預(yù)測(cè)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。默認(rèn)情況下，（1-α）100%的上界和下界是使用基于模擬的標(biāo)準(zhǔn)誤差估計(jì)值和正態(tài)性假設(shè)估計(jì)的。如果指定了bscentile選項(xiàng)，R模擬預(yù)測(cè)的上界和下界的樣本百分位數(shù)被用于置信區(qū)間的上界和下界。

如果指定了bsp選項(xiàng)，則使用參數(shù)化的模擬算法。具體來(lái)說(shuō)，除了用①（bsp）代替①之外，其他都和上面一樣。①（bsp）為從具有協(xié)方差矩陣Σ的多變量正態(tài)分布中抽取T+h個(gè)觀測(cè)值。

上面的算法假設(shè)h個(gè)預(yù)測(cè)期是在T個(gè)觀測(cè)值的原始樣本之后。如果h個(gè)預(yù)測(cè)期位于原始樣本內(nèi)，較小的模擬數(shù)據(jù)集就足夠了。

2. vec后的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)

fcast compute命令使用先前的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)作為后來(lái)動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)的輸入。

根據(jù)Lütkepohl（2005），fcast compute使用

其中，Φ_i是脈沖響應(yīng)函數(shù)的估計(jì)矩陣，T是樣本中的觀察數(shù)，d是自由度數(shù)，Ω是估計(jì)的交叉方差矩陣。在步驟h的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是Σ_?（h）的對(duì)角線元素的平方根。

根據(jù)Lütkepohl（2005），估計(jì)的預(yù)測(cè)誤差方差不考慮參數(shù)的不確定性。當(dāng)樣本量變得無(wú)限大時(shí)，參數(shù)不確定性的重要性就會(huì)減弱到零。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞VEC/VAR forecasts＞Compute forecasts（required for graph）

語(yǔ)法格式：

After var and svar

fcast compute prefix[，options1]

After vec

fcast compute prefix[，options2]

例1.39 VAR模型預(yù)測(cè)

例1.40 VAR模型的擬合預(yù)測(cè)

1.11.2 預(yù)測(cè)值繪圖

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞VEC/VAR forecasts＞Graph forecasts

語(yǔ)法格式：

fcast graph varlist[if][in][，options]

例1.41 協(xié)整VEC預(yù)測(cè)

在這個(gè)例子中，我們使用協(xié)整VEC對(duì)密蘇里州、印第安納州、肯塔基州和伊利諾伊州的失業(yè)率進(jìn)行建模，并將預(yù)測(cè)結(jié)果與6個(gè)月的擱置樣本做對(duì)比。

（1）使用數(shù)據(jù)。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/urates

（2）估計(jì)VEC模型。

.vec missouri indiana kentucky illinois if t＜tm（2003m7），trend（rconstant）rank（2）lags（4）

（輸出省略）

（3）計(jì)算六步動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)值。

.fcast compute m1_，step（6）

（4）繪圖。

.fcast graph m1_missouri m1_indiana m1_kentucky m1_illinois，observed

因?yàn)槲覀冾A(yù)測(cè)的密蘇里州和印第安納州的失業(yè)率的95%置信區(qū)間并不包含所有的觀察值，所以該模型不能可靠地預(yù)測(cè)這些失業(yè)率。