1.12 脈沖響應和方差分解分析

在實際應用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，且由于模型的OLS估計量只具有一致性，導致很難對單個參數估計值進行經濟解釋，因此在VAR模型的應用中，我們往往不是分析一個變量對另一個變量的影響，而是分析當一個誤差項發生變化，或者說，當模型受到某種沖擊時對系統產生的動態影響，這種分析方法稱為脈沖響應函數（impulse response function，IRF）方法。它描述的是在某個內生變量的隨機誤差項上施加一個標準差大小的沖擊后對所有內生變量的當期值和未來值所產生的影響。

考慮下面的VAR（p）模型：

其中，ε_t～N（0，Σ）是k維擾動列向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關且不與方程右邊的變量相關。設滯后算子為L，LkY_t=Y_t-k，則根據式（1-104）可得VMA（∞）模型：

根據式（1-105）可得VMA（∞）模型的系數矩陣：

Θ_q的第i行、第j列元素可表示為

式（1-107）即為脈沖響應函數，它表示當其他擾動項在任何時期都不變的情況下，第j個變量在時期t的擾動項增加一個單位，對第i個內生變量在t+q期產生的影響。

根據式（1-107），可以依次計算出Y_j的脈沖引起Y_i的響應函數：

可得，由Y_j的脈沖引起的Y_i的累積響應函數為。

脈沖響應函數描述的是在某個內生變量的隨機誤差項上施加一個標準差大小的沖擊后對所有內生變量的當期值和未來值所產生的影響。而方差分解（variance decomposition）是通過分析每一個結構沖擊對內生變量變化（通常用方差來度量）的貢獻度，并進一步評價不同結構沖擊的重要性。VAR模型的方差分解給出的是每個隨機誤差項的相對重要性信息，一般可以用相對方差貢獻率（relative variance contribution，RVC）來衡量。

根據式（1-105），可以得出：

記，那么在公式兩邊求方差，假設擾動項無序列相關，則有

再假定擾動項向量的協方差矩陣Σ是對角矩陣，則y_i的方差是上述方差的k項簡單和：

y_i的方差可以分解成k種不相關的影響，因此為了測定各個擾動項相對y_i的方差有多大程度的貢獻，因此可以定義相對方差貢獻率為

相對方差貢獻率度量了第j個變量基于正交化沖擊的方差的相對貢獻度，反映了第j個變量對第i個變量的影響。當RVC_j→i（∞）大時，表明第j個變量對第i個變量的影響大，與之相反，當RVC_j→i（∞）小時，表明第j個變量對第i個變量的影響小。

創建和分析IRF、動態乘數函數和FEVD（forecast-error variance decomposition）的Stata語句。

語句格式：irf subcommand...[，...]

例1.42 VAR模型的脈沖響應分析和方差分解分析

要在Stata中分析IRF和FEVD，首先要擬合一個模型，然后使用irf create來估計IRF和FEVD并將其保存在一個文件中，最后使用irf graph或其他任何irf分析命令來檢查結果。

（1）使用數據。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/lutkepohl2

（2）估計VAR模型。

.var dln_inv dln_inc dln_consump if qtr＜=tq（1978q4），lags（1/2）dfk

（3）創建脈沖響應函數IRF文件，命名為order1。

.irf create order1，step（10）set（myirf1，new）

（file myirf1.irf created）

（file myirf1.irf now active）

（file myirf1.irf updated）

（4）繪制活動文件的結果圖。

.irf graph oirf，impulse（dln_inc）response（dln_consump）

多組IRF和FEVD可以放在同一個文件中，每組結果在一個文件中都有一個不同的名字。上面的irf創建命令創建了myirf1.irf文件，并將一組結果放在其中，命名為order1。order1的結果包括簡單IRFs、正交IRFs、累積IRFs、累積正交IRFs和Cholesky FEVD的估計。

IRF文件只是文件：它們可以被刪除，被dir列出，被復制。下面我們使用相同的估計var，但使用不同的Cholesky排序來創建第二組IRF結果，我們將在同一個文件中保存為order2，然后我們將對這兩個結果進行繪圖。

（5）創建脈沖響應函數IRF文件，命名為order2。

.irf create order2，step（10）order（dln_inc dln_inv dln_consump）

（file myirf1.irf updated）

（6）繪制活動文件的結果圖。

.irf graph oirf，irf（order1 order2）impulse（dln_inc）response（dln_consump）

我們可以比較兩個不同模型的結果。用irf表將結果以表格形式呈現出來。

（7）用irf表將結果以表格形式呈現出來。

.irf table oirf，irf（order1 order2）impulse（dln_inc）response（dln_consump）

表和圖都顯示，兩個正交化的IRF基本上是一樣的。在這兩個函數中，對dln_inc的正交化沖擊的增加會導致dln_consump的短暫序列增加，并在四、五個時期后消失。

irf cgraph與使用irf graph制作單個圖形，然后使用graph combine將其組合在一起的方法基本相同。

Stata語句如下。

菜單操作：

Statistics＞Postestimation

語句格式：

irf cgraph（spec1）[（spec2）...[（specN）]][，options]

where（spec_k）is

（irfname impulsevar responsevar stat[，spec_options]）

例1.43 SVAR模型的脈沖響應分析和方差分解分析