1.9 VAR模型的診斷和檢驗(yàn)

1.9.1 滯后階數(shù)確定

VAR模型中一個(gè)重要的問(wèn)題就是滯后階數(shù)的確定。在選擇滯后階數(shù)p時(shí)，一方面想使滯后階數(shù)足夠大，以便能完整反映所構(gòu)造模型的動(dòng)態(tài)特征。但是另一方面，滯后階數(shù)越大，需要估計(jì)的參數(shù)也就越多，模型的自由度就減少。因此，我們進(jìn)行選擇時(shí)需要綜合考慮，既要有足夠數(shù)量的滯后項(xiàng)，又要有足夠大的自由度。事實(shí)上，這是VAR模型的一個(gè)缺陷，在實(shí)際中常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，將不得不限制滯后項(xiàng)的數(shù)量，使它少于反映模型動(dòng)態(tài)特征性所應(yīng)有的理想數(shù)量。最優(yōu)滯后階數(shù)的確定通常包括兩種方法：LR（似然比）檢驗(yàn)、模型順序統(tǒng)計(jì)量。

1. LR檢驗(yàn)

LR（likelihood ratio，似然比）檢驗(yàn)，是從最大的滯后階數(shù)開始，檢驗(yàn)在滯后階數(shù)為j時(shí)系數(shù)矩陣Φ_j的元素均為0的原假設(shè)。χ2（Wald）統(tǒng)計(jì)量如下：

其中，m是可選擇的其中一個(gè)方程中的參數(shù)個(gè)數(shù)：m=d+kj，d是外生變量的個(gè)數(shù)，k是內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)，和分別表示之后階數(shù)為（j-1）和j的VAR模型的殘差協(xié)方差矩陣的估計(jì)。

從最大滯后階數(shù)開始，比較LR統(tǒng)計(jì)量和5%水平下的臨界值。如果，則拒絕原假設(shè)，表示統(tǒng)計(jì)量顯著，此時(shí)表示增加滯后值能夠顯著增大最大似然的估計(jì)值；否則，接受原假設(shè)。每次減少一個(gè)滯后階數(shù)，直到拒絕原假設(shè)。

2.模型順序統(tǒng)計(jì)量

Lütkepohl（2005）給出的FPE統(tǒng)計(jì)量定義為

然而，這個(gè)公式假設(shè)模型中有一個(gè)常數(shù)，并且沒有因?yàn)楣簿€而忽略任何變量。為了解決這些問(wèn)題，F(xiàn)PE的實(shí)現(xiàn)如下：

其中，是K方程上的平均參數(shù)。這個(gè)實(shí)現(xiàn)解釋了由于共線而忽略的變量。

確定VAR模型滯后階數(shù)常用的信息準(zhǔn)則一般有AIC、SBIC和HQIC。默認(rèn)情況下，AIC、SBIC和HQIC根據(jù)其標(biāo)準(zhǔn)定義計(jì)算，其中包括對(duì)數(shù)似然中的常數(shù)項(xiàng)：

式中，t_p是模型中的參數(shù)總數(shù)，LL是對(duì)數(shù)似然值。另外，Lütkepohl（2005）主張從對(duì)數(shù)似然中去掉常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗挥绊憸箅A數(shù)的推斷，該版本的信息準(zhǔn)則為

確定滯后階數(shù)的Stata命令如下。

菜單操作：

（1）VAR模型估計(jì)前檢驗(yàn)菜單。

Statistics＞Multivariate time series＞VAR diagnostics and tests＞Lag-order selection statistics（preestimation）

（2）VAR模型估計(jì)后檢驗(yàn)菜單。

Statistics＞Multivariate time series＞VAR diagnostics and tests＞Lag-order selection statistics（postestimation）

（3）VECM模型估計(jì)前檢驗(yàn)菜單。

Statistics＞Multivariate time series＞VEC diagnostics and tests＞Lag-order selection statistics（preestimation）

（4）VECM模型估計(jì)后檢驗(yàn)菜單。

Statistics＞Multivariate time series＞VEC diagnostics and tests＞Lag-order selection statistics（postestimation）

語(yǔ)法格式：

（1）估計(jì)前語(yǔ)法。

varsoc depvarlist[if][in][，preestimation options]

（2）估計(jì)后語(yǔ)法。

varsoc[，estimates（estname）]

例1.30 估計(jì)前varsoc檢驗(yàn)

例1.31 估計(jì)后varsoc檢驗(yàn)

1.9.2 Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)

Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是檢驗(yàn)一個(gè)變量的滯后變量是否可以被其他變量方程引入。一個(gè)變量如果受到其他變量的滯后影響，則稱它們具有Granger因果關(guān)系。在一個(gè)二元p階的VAR模型中

當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù)全部為0時(shí)，變量x不是引起y變化的Granger原因，等價(jià)于變量x外生于變量y。這時(shí)，判斷Granger原因的直接方法是利用F-檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)下述聯(lián)合檢驗(yàn)：

其統(tǒng)計(jì)量為

如果S₁大于F的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)，即x不能Granger引起y。

其中，RSS₁是式（1-68）中y方程的殘差平方和：

RSS₀是不含x的滯后變量，如下面方程的殘差平方和：

在滿足高斯分布的假定下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量式（1-73）具有精確的F分布。如果回歸模型形式是如式（1-68）的VAR模型，一個(gè)漸近等價(jià)檢驗(yàn)可由下式給出：

注意，S₂服從自由度為p的χ2分布。如果S₂大于χ2的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)，即x不是引起y變化的Granger原因。值得注意的是，Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的任何一種檢驗(yàn)結(jié)果都和滯后長(zhǎng)度p的選擇有關(guān)。

Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)的Stata命令如下。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞VAR diagnostics and tests＞Granger causality tests

語(yǔ)法格式：

vargranger[，estimates（estname）separator（#）]

例1.32 估計(jì)后Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)

在這里，我們使用一些關(guān)于德國(guó)的數(shù)據(jù)建立VAR模型，然后用vargranger進(jìn)行Granger因果關(guān)系檢驗(yàn)。

（1）下載數(shù)據(jù)。

.use https://www.stata-press.com/data/r17/lütkepohl2

（2）建立VAR模型。

.var dln_inv dln_inc dln_consump if qtr＜=tq（1978q4），dfk small

（3）Granger檢驗(yàn)。

.vargranger

由于未指定estimates（）選項(xiàng)，vargranger使用了活動(dòng)的estimates（）結(jié)果。考慮第一個(gè)方程的三個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果。第一個(gè)是Wald檢驗(yàn)，即dln_inv方程中出現(xiàn)的dln_inc兩個(gè)滯后的系數(shù)聯(lián)合為零。不能拒絕dln_inc不會(huì)Granger導(dǎo)致dln_inv的原假設(shè)。同樣地，我們不能拒絕dln_inv方程中dln_consump兩個(gè)滯后的系數(shù)聯(lián)合為零的原假設(shè)，因此，我們不能否認(rèn)dln_consump不會(huì)導(dǎo)致dln_inv的假設(shè)。第三個(gè)檢驗(yàn)是關(guān)于所有其他內(nèi)生變量的兩個(gè)滯后系數(shù)聯(lián)合為零的原假設(shè)。由于這一點(diǎn)不可拒絕，我們不能拒絕dln_inc和dln_consump共同不會(huì)導(dǎo)致dln_inv的原假設(shè)。

1.9.3 殘差檢驗(yàn)

1.殘差自相關(guān)的LM檢驗(yàn)

J階滯后的LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的公式為

其中，T為VAR模型的樣本觀測(cè)期，Σ?_s是VAR擾動(dòng)項(xiàng)的方差-協(xié)方差矩陣Σ的最大似然估計(jì)，并且Σ?_s是增廣VAR的Σ的最大似然估計(jì)。

如果VAR模型中有K個(gè)方程，我們可以定義e_t為K×1的殘差向量。我們創(chuàng)建了包含K個(gè)方程殘差的K個(gè)新變量e₁，e₂，…，e_K，我們可以用這些K個(gè)新變量的滯后來(lái)增加原始VAR模型。對(duì)于每個(gè)滯后s，我們形成一個(gè)增廣回歸，其中新的殘差變量滯后s次。根據(jù)Davidson和MacKinnon（1993）的方法，這些s滯后的缺失值被替換為零。Σ?_s是VAR模型中Σ的最大似然估計(jì)，并且d是這個(gè)增廣VAR模型中需要估計(jì)的系數(shù)個(gè)數(shù)。LM_s的漸進(jìn)分布為K2自由度的χ2分布。

殘差自相關(guān)LM檢驗(yàn)的Stata命令如下。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞VAR diagnostics and tests＞LM test for residual autocorrelation

語(yǔ)法格式：

varlmar[，options]

其中options有以下設(shè)定：

varlmar對(duì)VAR模型殘差中的自相關(guān)進(jìn)行了拉格朗日乘數(shù)（LM）測(cè)試，該測(cè)試在Johansen（1995）中被提出。

例1.33 估計(jì)后varlmar檢驗(yàn)

2.殘差的正態(tài)性檢驗(yàn)

本節(jié)使用的殘差正態(tài)性檢驗(yàn)是基于Lütkepohl（2005）的工作。令為K×1的殘差向量，它來(lái)自VAR或者SVAR擬合的K個(gè)方程的殘差。相似地，使用表示擾動(dòng)項(xiàng)的方差矩陣。偏度、峰度和Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量必須使用正交化殘差進(jìn)行計(jì)算，由于

意味著

將和預(yù)先相乘是實(shí)行正交化的一種方法。當(dāng)varnorm應(yīng)用于VAR的結(jié)果，被定義為的Cholesky分解。當(dāng)varnorm應(yīng)用于svar結(jié)果時(shí)，被設(shè)定為估計(jì)結(jié)構(gòu)分解的方法，即，其中，和都是系數(shù)矩陣A和B的估計(jì)參數(shù)。是C的長(zhǎng)期svar估計(jì)值。當(dāng)對(duì)svar結(jié)果應(yīng)用varnorm并指定cholesky選項(xiàng)時(shí)，將設(shè)置為的cholesky分解。

將定義為以下公式給出的正交化VAR殘差：

接下來(lái)，通過(guò)正交化殘差可以得到K×1的偏度和峰度系數(shù)。

在多元高斯擾動(dòng)的原假設(shè)下，

其中，為偏度統(tǒng)計(jì)量，為峰度統(tǒng)計(jì)量，是Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量，和用于檢驗(yàn)K×1擾動(dòng)項(xiàng)向量服從多元正態(tài)分布的原假設(shè)。針對(duì)第k個(gè)方程的擾動(dòng)項(xiàng)服從一元正態(tài)分布的原假設(shè)，給出了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量：

Stata命令如下。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞VAR diagnostics and tests＞Test for normally distributed disturbances

語(yǔ)法格式：

varnorm[，options]

options有以下設(shè)定：

例1.34 殘差正態(tài)性檢驗(yàn)

1.9.4 VAR模型平穩(wěn)性檢驗(yàn)

無(wú)論是VAR模型還是SVAR模型，它們的推斷都要基于變量是協(xié)方差平穩(wěn)的假設(shè)。如果y_t中的變量的前兩個(gè)矩存在且與時(shí)間無(wú)關(guān)，則y_t中的變量是協(xié)方差平穩(wěn)的。更具體地說(shuō)，如果一個(gè)變量y_t是協(xié)方差平穩(wěn)的，它需要滿足：

（1）E[y_t]是有限的，并且獨(dú)立于t；

（2）Var[y_t]是有限的，并且獨(dú)立于t；

（3）Cov[y_t，y_s]是|t-s|的有限的函數(shù)，但和單獨(dú)的t或s無(wú)關(guān)。

然而，VAR模型的解釋要求滿足更嚴(yán)格的穩(wěn)定性條件。如果VAR是平穩(wěn)的，則它是可逆的，并且具有無(wú)窮階向量移動(dòng)平均表示。如果VAR是平穩(wěn)的，脈沖響應(yīng)函數(shù)和預(yù)測(cè)誤差方差分解具有已知的解釋。

Lütkepohl（2005）和Hamilton（1994）的工作都表明，如果矩陣A的每個(gè)特征值的模嚴(yán)格小于1，則估計(jì)的VAR是平穩(wěn)的。

假設(shè)伴隨矩陣A有以下的形式：

求該矩陣的特征值，該伴隨矩陣的復(fù)特征值r+c_i的模為，如Lütkepohl（2005）和Hamilton（1994）所示，如果A的每個(gè)特征值的模嚴(yán)格小于1，則VAR是平穩(wěn)的。

Stata命令如下。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞VAR diagnostics and tests＞Check stability condition of VAR estimates

語(yǔ)法格式：

Varstable[，options]

options有以下設(shè)定：

例1.35 模型平穩(wěn)性檢驗(yàn)