1.8 狀態空間模型

許多線性時間序列模型可以寫成線性狀態空間模型，包括向量自回歸滑動平均（VARMA）模型、動態因子（DF）模型和結構時間序列（STS）模型。一些隨機動態規劃問題的解也可以寫成線性狀態空間模型的形式。我們可以用最大似然（ML）估計線性狀態空間模型的參數。假設誤差為正態分布，使用Kalman濾波或擴散Kalman濾波以預測誤差形式編寫似然函數。當模型平穩時，放棄正態性假設的準最大似然估計量是一致且漸近正態的。Chang、Miller和Park（2009）建立了一類非平穩狀態空間模型的QML估計的一致性和漸近正態性。QML估計法與ML估計法的區別僅在于VCE的設定，設定vce（robust）選項就是選用QML估計法。

狀態空間模型的表達式包括狀態方程和觀測方程，狀態方程為

觀測方程為

其中，z_t為m×1的不可觀測狀態變量；x_t為k_x×1的外生變量；ε_t為q×1的狀態誤差項，且q≤m；y_t為n×1可觀測內生變量；w_t為k_w×1的外生變量；v_t為r×1的觀測誤差項。并且，A、B、C、D、F和G都是參數矩陣。假設誤差項為零均值、正態分布、序列不相關且彼此不相關：

狀態空間模型一般使用卡爾曼濾波進行更新與預測，現在我們給出一個直觀的卡爾曼濾波版本。對于每個時間t，卡爾曼濾波器產生條件期望狀態向量z_t|t和條件協方差矩陣Ω_t|t；兩者都以時間t之前（包括時間t）的信息為條件。使用模型和前期結果，對于每個時間t可以有：

預測誤差的殘差和均方誤差（MSE）矩陣如下所示：

在最后的步驟中，我們用t時間信息更新條件期望狀態向量和條件協方差

式（1-46）至式（1-52）是Kalman濾波的預測和更新過程。式（1-46）至式（1-48）為一步預測，一步預測不使用y_t的同期值，只是用過去時期的y_t，過去時期的外生x_t，以及同期的x_t。式（1-49）至式（1-52）組成了Kalman濾波的更新過程，它們將同期因變量信息納入預測狀態。

狀態空間模型估計的Stata命令為sspace，sspace通過最大似然估計線性狀態空間模型的參數。線性的狀態空間模型非常靈活，許多線性時間序列模型可以寫成線性狀態空間模型。

sspace使用兩種形式的卡爾曼濾波器遞歸地獲得條件均值和未觀測狀態與測量因變量的方差，用于計算可能性。sspace的協方差形式語法和誤差形式語法反映了這兩種不同的形式。

菜單操作：

Statistics＞Multivariate time series＞State-space models

（1）協方差形式語法。

sspace state_ceq[state_ceq... state_ceq]obs_ceq[obs_ceq... obs_ceq][if][in][，options]

其中，每個狀態都是：

（statevar[lagged_statevars][indepvars]，state[noerror noconstant]）

每個obs_ceq的形式為：

（depvar[statevars][indepvars][，noerror noconstant]）

（2）誤差形式語法。

sspace state_efeq[state_efeq... state_efeq]obs_efeq[obs_efeq... obs_efeq][if][in][，options]

其中，每個狀態都是：

（statevar[lagged_statevars][indepvars][state_errors]，state[noconstant]）

每個obs_ceq的形式為：

（depvar[statevars][indepvars][obs_errors][，noconstant]）

例1.28 一個AR（1）模型

例1.29 一個ARIMA（1，1）模型