三、理想者眼中的數學史——數學史融入小學數學教學的構想

在這個世界上，絕對的完美是不存在的，但相對的理想是可以追求的，合理、適當、高效和滿意都是一種理想的狀態。那么，數學史融入小學數學教學的理想狀態是怎樣的呢？要回答這個問題，我們需要從兩個角度進行分析和論證。

首先，我們需要正確理解數學史的意義和價值。數學史，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變與發展過程，還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學的發展給人類文明帶來的影響。因此，數學史的研究對象不僅包括具體的數學，而且涉及歷史學、哲學等社會科學與人文科學的內容，既屬歷史學領域，又屬數學領域。因此，數學史研究既要遵循歷史學規律，又要遵循數學規律。根據這一特點，研究者可以將數理分析作為數學史研究特殊的輔助手段，在缺乏史料或史料真偽莫辨的情況下，站在現代數學的高度，對古代數學的內容與方法進行數理分析，以達到正本清源、理論概括和提出歷史假說的目的。

其次，我們還需要從宏觀的角度來看看教育政策及數學課程標準中對數學史融入數學教學的定位。

2016年9月13日，《中國學生發展核心素養》研究成果正式發布。文件指出：“學生發展核心素養，主要指學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。”“總體框架”部分指出：“中國學生發展核心素養，以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養‘全面發展的人’為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與三個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，具體細化為國家認同等十八個基本要點。”就數學教學而言，數學史作為權威的課程資源及數學文化的重要載體，在促進學生人文底蘊素養及科學精神的形成中起著重要的作用。

我國在課程改革過程中對數學史及數學思想的重視程度越來越高，數學史在數學教學中的重要作用日益凸顯。《課標》將數學史的研究與應用從幕后推向了臺前，數學史在教學中的合理應用正是《課標》要求的體現。《普通高中數學課程標準（實驗）》中將數學史列為高中數學學習階段的選修內容。不僅如此，初中數學教材中也介紹了有關的數學史。在小學階段，《課標》中提到：“教材編修要勇于打破固有教材模式，為教材使用者提供廣泛的素材資源和開放的使用空間。如教材中介紹數學文化、數學發展前沿等。內容設計要反映數學在自然與社會中的應用，展現數學發展史中偉大數學家，特別是中國古代與近現代著名數學家，以及他們的數學成果在人類文明發展中的作用，增強學生的愛國情懷和民族自豪感。如介紹《九章算術》《幾何原本》、珠算、機器證明、黃金分割、計算機層析成像（CT）技術、大數據等內容，以及祖沖之、華羅庚、陳景潤等數學家的事跡。”

細細研讀、靜心思索，我們會發現《課標》中將數學史視為數學文化的組成部分。那么，數學史應該以一種什么樣的姿態出現在我們的教學當中才能體現其真正的價值呢？在深入分析和理解的基礎上，我認為，理性化的數學史應用應該發揮出數學史如下幾個方面的功能，才能夠真正體現出其內涵的價值。

（一）體現教學目標定位功能

教學目標是關于教學將使學生發生何種變化的明確表述，是指在教學活動中所期待得到的學生學習結果。在教學過程中，教學目標起著十分重要的作用。教學活動以教學目標為導向，且始終圍繞實現教學目標而進行。作為教師，我們都知道在設計一節課的時候，教學目標的制定是首位的。它決定著教學整體的推進和發展。從一定程度上講，教學目標制定的合理性是一節課成功的關鍵。而數學史中的大量素材都可以有效地輔助或完善教學目標的制定，這體現了數學史的參照性價值，實現其教學目標定位的功能是數學史理想化應用的一種體現。具體來說，在數學史的輔助下，我們可以通過如下幾個方面完成對教學目標的修正和設置。

第一，在數學史料體驗中深化知識目標。知識需要在社會、文化情境中獲得，并構建其意義。所以，我們應當在數學史的視域中認識知識目標，在社會情境中建構和理解知識，在數學體驗中掌握知識，在文化品味中領略知識的意義。數學史中的很多經典問題都可以作為知識目標達成的載體。

例如，中國數學發展史中著名的定理“中國剩余定理”，是中國古代求解一次同余方程組的方法，是初等數論中的重要定理之一。一次同余方程組問題可見于數學著作《孫子算經》，叫作“物不知數”問題，原文如下。

今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？

它的意思是，一個正整數除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個正整數。因為《孫子算經》中首次提到了這個問題，所以在中文數學文獻中也會將中國剩余定理稱為孫子剩余定理。

相傳中國剩余定理的提出源自楚漢相爭時期的歷史故事。查閱相關資料可知，故事版本大致有兩個，其一具體內容如下。

韓信率1500名將士與楚軍大將李鋒交戰。苦戰一場后，楚軍不敵，敗退回營。漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬返回大本營。當韓信一行人行至一山坡時，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠方塵土飛揚，殺聲震天。

漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信領兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令將士3人一排，結果多出2人；接著命令將士5人一排，結果多出3人；又命令將士7人一排，結果多出2人。

韓信馬上向將士們宣布：“我軍有1073名將士，敵軍不足500名，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。”漢軍本來就信服韓信的統帥，又見他如此快速地算出了剩余人員的數量，就更相信他是“神仙下凡”“神機妙算”，于是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步緊逼，楚軍亂作一團。交戰不久后，楚軍大敗而逃。

其二具體內容如下。

有一天，漢高祖劉邦問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”

韓信回答說：“陛下你最多能帶10萬兵吧！”

劉邦聽了不大高興，于是問：“那你呢？”

韓信非常驕傲地說：“我來點兵，當然是多多益善！”

劉邦心中更加不高興了，就想了個方法要為難韓信。他傳令叫來一小隊士兵，讓他們隔著墻在外面列隊，問韓信這個小隊一共有多少人。韓信發令3人站成一排。不久后，有人進來報告說最后一排只有2人。韓信又傳令5人站成一排。隨后，又有人進來報告說最后一排只有3人。韓信再次傳令7人站成一排。來人報告說最后一排只有2人。

這時，劉邦望向韓信問：“敢問將軍，這隊士兵總共有多少人？”

韓信想也沒想，脫口而出：“23人。”

劉邦大驚，心生殺機。

“物不知數”問題的別名有很多，如“韓信點兵”“隔墻算”“鬼谷算”。用來解決該問題的中國剩余定理的文化內涵極其豐富，不同的時代有不同的描述。對中國剩余定理的形式多種多樣的證明，其實是對該定理一系列精彩的解讀，散發出豐富、濃厚的文化韻味。將這樣的數學文化知識融入數學教學，不僅增加了知識的深度，更為知識增添了無窮的趣味，使之引人入勝。

第二，在歷程經歷中達成過程目標。古希臘著名的數學家畢達哥拉斯曾經說過類似這樣的話：“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。”數學教學過程中，過程目標的達成已經越來越被教師所關注。當然，要了解知識發生和發展的過程，就要探尋數學家思維的歷史軌跡。

展現、重溫人類精彩的數學思維過程，其實是體驗數學文化的選擇、積累的傳承過程。數學史恰恰扮演了傳承過程的完美詮釋者這一角色，它詳盡地記錄了數學家在探索過程中所運用的歸納、類比、聯想等方法。通過綜合分析，數學家運用公理、定義和已證明的定理進行嚴謹的演繹論證，從而揭示了數學內部嚴謹的邏輯次序和聯系。

第三，在重現實踐中提升技能目標。數學技能是數學家思考的結果，蘊含著方法和技巧。這些技能構成了數學知識的精髓，而不僅僅是數學的一部分。“在教科書和學校的課程中，都將‘數學’看作是一系列毫無意義的、充滿技巧性的程序。把這樣的東西作為數學的特征，就如同把人體結構中每一塊骨骼的名稱、位置和功能當作活生生的、有思想的、富于激情的人一樣。如同一個單詞，如果脫離了上下文，不是失去了原來的意義，就是有了新的含義一樣，在人類文明中，數學如果脫離了其豐富的文化基礎，就會被簡化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。”[3]

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[3] 克萊因．西方文化中的數學［Ｍ］．張祖貴，譯．上海：復旦大學出版社，2007：2-12.

數學史中有著眾多的數學問題，前人方法的不斷優化和完善都為今人數學技能目標的確立提供了重要參考，是難得的寶貴財富。例如，著名的勾股定理就體現了數學技能的發展和優化。勾股定理是一個基本的幾何定理，是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一。

勾股定理的證明方法多種多樣，據不完全統計，約有500種（一說400多種），是證明方法最多的數學定理之一。

在我國，約公元前11世紀，數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算經》中記錄了商高同周公的一段對話。商高說：“……勾廣三，股修四，徑隅五。”其意為，當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三、股四、弦五”，并稱勾股定理為商高定理。

公元3世紀，漢末三國初數學家趙爽對《周髀算經》內的勾股定理進行了詳細注釋，記錄于《九章算術》中：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦。”趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。后來，劉徽在《九章算術注》中亦證明了勾股定理。

清朝末年，數學家華蘅芳提出了多種勾股定理的證明方法。

在國外，早在公元前約2000年的巴比倫人就知道和會應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學收藏著一塊編號為“普林頓322”的巴比倫楔形文字泥版文書，上面就記載了很多勾股數。除此之外，古埃及人在建造宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫時受到沖刷的土地時，也應用過勾股定理。

公元前6世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯發現了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

公元前4世紀，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》第一卷末記載了勾股定理的證明。

1876年，加菲爾德發表了他對勾股定理的一種證明方法。

20世紀，《畢達哥拉斯命題》這部作品出版，它收集了畢達哥拉斯定理的367種不同的證明方法。

…………

在漫長的歷史中，勾股定理的證明過程就是一個值得人們研究的大問題，其背后豐富的教育素材可以被我們加工后應用于教學。如果說上面描述的是“線狀”數學史的價值，那么其中還有很多著名的故事可以作為“點狀”數學史素材而讓我們加以利用，比如著名的“總統證法”。

1876年，在美國華盛頓的郊區，一位中年男士正在落日的余暉下悠閑地散步。這位男士便是當時美國國會眾議員加菲爾德。他走著走著注意到附近一個小石凳旁，有兩個孩童正專注地討論著什么，他們時而大聲爭論，時而小聲探討。出于好奇心，加菲爾德緩步靠近，想要了解他們究竟在探討什么。他看到其中一個小男孩正蹲在地上，用樹枝勾勒出一個直角三角形。

加菲爾德詢問他們在做什么，其中一個小男孩頭也不抬地問：“先生，如果一個直角三角形的兩條直角邊的長度分別是3和4，那么它的斜邊的長度是多少？”

加菲爾德不假思索地回答：“當然是5。”

小男孩緊接著提出另一個問題：“那么，如果兩條直角邊的長度分別是5和7，斜邊的長度又是多少？”

加菲爾德迅速回應：“斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”

小男孩繼續追問：“先生，您能解釋這背后的道理嗎？”

這個問題讓加菲爾德一時語塞，他發現自己竟無法給出滿意的解釋，心中不免感到些許挫敗。于是，他決定結束散步，立刻返回家中，深入研究這個由小男孩提出的問題。經過反復的思考和計算，加菲爾德不僅理解了其中的數學原理，而且找到了一種簡潔的證明方法。

用數學語言來說證明過程是這樣的（見下圖）：

所以比較上述二式便得。

1881年，加菲爾德就任美國第20任總統。他以對勾股定理的直觀、簡潔、易懂、明了的證明而聞名，這一證明方法因此被后人尊稱為“總統證法”，以紀念他在數學領域的卓越貢獻。

…………

數學史從“線狀”和“點狀”兩個層面為我們提供了豐富的教學素材。在完整的故事背景下，這種有趣的素材不僅完善了學生的認知、啟迪了學生的智慧，還是教師德育工作中的寶貴資源。

第四，在文化體驗中落實情感態度與價值觀目標。隨著當今社會人們主體意識的增強，情感態度和價值觀目標的確立與實現更是受到教師的極大關注。這種目標的確立與實現離不開人們對數學文化的體驗。一個個美妙的數學定理像一串串絢麗的珍珠，透過它們理性的“外衣”我們可以進一步看到數學家生生不息奮斗的畫面。

數學知識中蘊含的歷史和文化可以深化學生對人類智慧的欣賞之情，滿足學生的審美需求，展現數學家嚴謹、求真的治學精神。以數學史為代表衍生出的數學文化對生命意義的領悟、對知識和求解方法的理解都是具有積極意義的。

例如，數學家丟番圖一生都致力于對數學的探索。丟番圖著有《算術》一書，原有13卷。書中收集了許多有趣的問題，每個問題都有出人意料的巧妙解法，這些解法可以開動人們的腦筋，啟迪人們的智慧。然而，關于丟番圖的生平，人們所知甚少。盡管如此，可以肯定的是，數學貫串了他的一生，甚至在他去世后，其墓志銘也散發著數學的魅力和對人生的深刻思考。墓志銘的主要內容如下。

過路的人啊！

這里埋葬著丟番圖。

請計算下列數目，

便可知他一生經過了多少寒暑。

他生命的六分之一是幸福的童年；

又過了一生的十二分之一，他的兩頰長出了細細的胡須；

再過去一生的七分之一，

他結婚建立了幸福的家庭；

婚后五年有了可愛的兒子，

可惜兒子的壽命只有父親的一半；

晚年喪子真是可憐，

兒子死后，老人在悲痛之中度過四年就與世長辭。

請你算一算，丟番圖活到幾歲，

才和死神見面？

這個與眾不同的墓志銘不但本身就是一個數學問題，具備應用數學知識加以解決的條件，能夠起到相應的數學學習的目的，而且更重要的是，它蘊含著丟番圖與數學融為一體的精神境界。這對于學生全面認識數學學科能夠起到不可估量的作用。

數學史料可以被教師加以利用，成為教育資源。特別是從情感態度與價值觀角度來看，數學史料能夠讓學生深刻感受到數學家的精神風貌和高尚品行。教育是實現人的社會化，促進人的精神和思想生成與提升的手段。文化可以喚醒人的精神和思想，人的精神和思想需要通過文化的教育塑造。學生在體驗數學文化的魅力、感受人文精神的同時，可以體會到數學的價值。

（二）體現學習興趣提升功能

鑒于數學史本身素材的演繹性特點，融入小學數學教學的數學史應充滿趣味性。小學生的年齡和心理特征決定了他們的學習行為是以興趣為主導的。盡管數學知識常常以抽象概括的方式進行形式化的表達，但小學數學教學不應該照本宣科，不應該是“學科狀態”下的教學，而應該是“教育狀態”下的教學。同樣，對數學史的講解也是如此。

例如，在講授歷史名題“韓信點兵”的時候，我依托數學史中的具體故事，并結合自身對評書的了解設計了兩段評書，且采用長課時（60分鐘課時）的形式，將數學課和評書結合起來，嘗試將數學史的價值凸顯于教學。具體講授時，上課前我先以故事作為引入，下課前再以故事作為補充，具體過程如下。

環節一，上課前以故事作為引入

師：“同學們，今天我們要上一節思維訓練課。在正式上課之前，我先給大家說一段評書好嗎？”

生1：“好。”

師：“那就且聽我徐徐道來！”

以下為評書內容的解說詞。

今天講的是漢高祖劉邦和大將韓信的故事。一天，漢高祖劉邦問大將韓信：“韓將軍，你看以寡人我的才能可以帶多少兵呢?”

韓信垂手答道：“以主公之才干可統率鐵甲十萬!”

劉邦聽罷，心中竊喜，順嘴問道：“那你呢?”

韓信淡然地說：“臣我呀，當然是多多益善啰!”

那劉邦心中頓時不悅，沉著臉說道：“將軍如此大才，我很佩服呀！現在，我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的才學，想來答起來一定容易！”

韓信不緊不慢地說道：“但請主公說來！”

劉邦狡黠一笑，傳令叫來一小隊士兵隔墻站隊，然后問道：“將軍可知帳外士兵人數幾何？”

劉邦想：“隔著墻看你如何計數？想來縱然你才華出眾，這個問題也一定難倒你！”

只見韓信不慌不忙，傳令道：“帳外士兵三三數之，余數報我！”劉邦一愣，沒明白韓信要干什么，就沒加阻攔。帳外小隊長報道：“稟將軍，三三數之余二。”

韓信點點頭，又傳令道：“帳外士兵五五數之，余數報我！”帳外小隊長又報道：“稟將軍，五五數之余三。”

“七七數來，余數報我！”韓信再次傳令。

“稟將軍，七七數之余二。”帳外小隊長又報道。

韓信脫口而出：“帳外士兵二十三人。”劉邦大驚，連忙查點人數，果然一個不多一個不少，正好二十三人。劉邦心悅誠服，他問道：“將軍是怎樣算的?”

韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，孫子乃是鬼谷子的弟子，這本書中載有此題的解答口訣。”

師：“同學們，聽完這個故事，你們有什么數學問題嗎？”

生1：“韓信具體是怎么算的？”

生2：“《孫子算經》里面記載的口訣是什么？”

生3：“為什么韓信要三三數、五五數、七七數？這里面有什么道理嗎？”

…………

就這樣，一個個的數學問題直指中國剩余定理的本質與核心，學生的探索欲望在故事的牽引下達到了新的高度，研究欲望被點燃，數學興趣隨之高漲了起來。

環節二，下課前以故事作為補充

師：“同學們，讓我們回到這節課最開始的評書中的故事，你們覺得韓信這個人如何？”

生1：“韓信很聰明。”

生2：“韓信很好學。”

生3：“韓信很有修養，他總是不急不躁的。”

師：“的確，韓信不僅才智過人，而且是一個很有修養和胸懷的人。關于韓信的故事你們還想再聽嗎？”

生（大家異口同聲，興趣高漲）：“想！”

師：“那就且聽我一一道來！”

以下為評書內容的解說詞。

且說那韓信自幼失去雙親，機緣巧合之下，拜大軍事家尉繚為師，學藝十幾載。藝成之日，尉繚將隨身寶劍贈予韓信。韓信身挎寶劍，回家途中遇一屠夫當眾羞辱自己。他對韓信說：“你這廝雖然長得又高又大，其實膽子小得很，今日身挎寶劍，招搖過市實在可惡！有本事的話，你敢用你的佩劍來刺我嗎？如果不敢，要么把佩劍留下予我，要么就從我的褲襠下鉆過去。”

韓信胸懷大志，不愿意因小失大，他淡然處之，當著許多圍觀人的面，便從那個屠夫的褲襠下鉆了過去。在場的人都嘲笑韓信，認為他很膽小。

后來，韓信榮歸故里，又找到那個屠夫。屠夫很是害怕，以為韓信要殺他報仇，沒想到韓信卻善待屠夫。他對屠夫說，沒有當年的“胯下之辱”就沒有今天的韓信。

正如唐朝大詩人李白的《贈新平少年》一詩所描述的：

韓信在淮陰，少年相欺凌。

屈體若無骨，壯心有所憑。

一遭龍顏君，嘯咤從此興。

千金答漂母，萬古共嗟稱。

…………

師：“同學們，聽完這個‘胯下之辱’的故事，你們又有什么感想呢？”

生1：“如果韓信當時受不了胯下之辱，那么他就不會有后來的成功。”

生2：“韓信很有胸懷，有容人之量。”

生3：“我們要學習韓信的堅忍品質。”

…………

通過上述教學案例，我們可以清晰地看到，這節課將數學教學置于人類數學史的宏偉背景之中，為學生提供了堅實的學習基礎和豐富的學習材料。在這樣的教學環境中，學生的學習不再是一種被動接受，而是變成了主動探索。通過這樣的學習過程，學生能夠更深刻地理解數學知識，同時也能夠感受到數學與人類文明發展之間的緊密聯系。

（三）體現實踐操作體驗功能

數學知識以其符號化的文字呈現于我們眼前，而數學家探索數學知識過程中充滿激情的思考往往被這些形式化的東西給遮蔽了。固然，形式化有助于數學理論的簡潔與系統化，它能夠以簡明的方式表達數量關系和空間形態。然而，數學的本質并不是形式，其生動的內涵不應被形式的海洋所淹沒。

面對數學的抽象性，學生常常感到枯燥、與現實脫節，難以領會其深意。但如果學生能從數學的歷史背景出發，通過實踐操作的體驗來理解數學的本質，那么數學學習將變得充滿生機、趣味和真實感。

學習并非一個僅憑間接經驗就能完成的簡單任務，它要求學生親自投身于實踐之中，將理論知識與實際應用相結合，以實現學習的最終目標，否則不能稱之為真正的學習。正如“紙上談兵”這一成語所揭示的，理論與實踐相結合的重要性不言而喻。

中醫的診療過程也是一個絕佳的例證。醫生通過望、聞、問、切四種診斷方法，全面地洞察病人的病情。這四診合一，方能精準施治。同樣，學習數學知識也需要學生追溯數學發展的脈絡，通過動手實踐和親身體驗，深刻理解數學的精髓，使之內化于心，并在心中生根發芽。

（四）體現思維發展促進功能

以“用字母表示數”的教學為例，通過回顧用字母表示數這一數學知識的歷史演進過程，我們可以了解到代數符號的發展經歷了一段悠久的歲月。這一過程打破了確定數與不確定數之間的壁壘，實現了從算術到代數的重大跨越。代數符號的演變主要經歷了三個階段：文辭代數、縮略代數和符號代數。而用字母表示數的歷史演進順序則是從表示特定的數，到表示未知數，再到表示一類數。這個過程雖然看似簡單，但實際上經歷了1000多年。

歷史總是相似的，我們可以預見，數學家在數學概念發展階段遇到的難題，同樣也會成為學生學習的難點。那么，我們便可以預料到，對于學生而言，用字母表示一類數就是最大的難點。因此，在教學設計中，我們應當根據用字母表示數的歷史演進過程來設計相應的活動和問題。這并不意味著我們要嚴格依照數學史來設計問題，而是需要結合學生的認知水平，對歷史進行再創造，將“歷史形態”轉化為“教育形態”。

現有的教材往往缺乏讓學生充分體驗用字母表示數的內容。由于學生之前習慣于使用具體的數字，他們可能會對用字母表示數產生抵觸心理。因此，在教學過程中，我們需要積極引導學生認識到字母出現的必要性。通過“古人表示數量方法的由來及發展變化”這一切入點，我們可以對例題進行調整，并補充史料和實例，以豐富學生的感知。經過調整，學生對用字母表示數的認知將經歷一個循序漸進的動態過程：從用字母表示特定的數，到表示不確定的未知數，再到表示可變的數、表示數量關系，最終達到表示一類數的階段。

再例如，根據數學史中的三階縱橫圖（稱為“九宮”）設計的思維訓練課，目標是通過引導學生逐步解決獨立研究過程中遇到的難題，讓學生實現數學方法的提煉和數學思維的深化。具體的教學過程如下。

環節一，故事引入，創設情境

師：“《射雕英雄傳》這本書你們看過嗎？在這本書中有兩個人物，一個叫郭靖，另一個叫黃蓉，他們可謂是武功蓋世，聰明絕頂。有一天，黃蓉身受重傷，亟須尋找一位名為瑛姑的高人，她在黑泥沼中隱居，擁有絕世的療傷本領，但黑泥沼的入口設有機關，要想開啟進入神秘的黑泥沼的機關需要解答下面這個問題。”

師：“請一位同學給大家讀讀。”

生1：“將1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個數字填入格子中，使橫行、豎行、斜行上的3個數字的和都相等。”

師：“大家能幫助黃蓉解答這個問題嗎？請你們獨自試一試。”

學生嘗試獨立填寫。

導學的目的不僅僅是激發學生的學習興趣，更重要的是為數學模型的建立預熱。教師可選取生活中的實例作為切入點，這在引發學生對數學問題的思考的同時，也可激發學生的學習興趣，培養學生的數學意識，并為后續的研究奠定基礎。

環節二，基于經驗，自主探索

學生嘗試獨立填寫后，教師讓學生進行匯報交流。

師：“請同學們互相檢查一下是否都填寫正確了。另外，你們想知道黃蓉是怎么填的嗎？我們來一起看看大屏幕上黃蓉解答開啟黑泥沼機關問題的口訣（見下圖）。”

黃蓉解答開啟黑泥沼機關問題的口訣

師：“對于黃蓉和大家填寫的內容，你們有什么問題嗎？”

生1：“口訣是怎么編出來的？”

生2：“最中間的一定填5嗎，可不可以填別的？”

生3：“一共有多少種填法？”

生4：“口訣背后的原理是什么呀？”

師：“是呀，口訣背后的原理到底是什么呢？同學們的答案是什么呢？今天我們就來一起研究這背后的數學原理。”

從環節二的互動中不難看出，教師所面對的學生不是一張白紙，而是具有獨立認知意識、具備一定學習經驗和生活經驗的學習者。教師基于學生已有的經驗，對學生進行進一步的培養，有助于學生知識的系統化、條理化，有利于學生尋找知識新的生長點。

現代數學教育對結論性知識的重視程度遠高于對在學習過程中凝練數學方法的重視程度。現實生活中絕大多數學生對于三階縱橫圖有一定的了解，但這種了解也僅限于對結論的記憶，只知其然而不知其所以然。

因此，教師應引導學生通過自主研究提煉解決問題的方法，建立數學模型。對數學的學習不僅是數學知識的學習，而且是數學思想和方法的學習。讓學生重溫學習知識的方法和過程，不僅有助于學生對知識的理解，而且可以教會學生一種科學研究問題的方法和流程，引導學生體會“魚”與“漁”之間的辯證關系。

環節三，深入探索，揭示本質

● 整體思考

學生分成小組討論交流，然后進行匯報。

生1：“我們小組討論的結果是，先算出每行、每列數字相加相等的和是（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=15。”

師：“為什么要除以3？”

生1：“因為不管怎樣，數字1至9都會放進格子中，所以3行或3列的總和就是這9個數字的總和；又因為是3行或3列，所以用總和除以3就可以得到每行或每列相等的特殊‘和’了。”

師：“大家能夠從宏觀的角度進行思考，非常了不起！通過這樣的方式可得到和是15這一重要線索。在數學中，我們把這樣的思考方式叫作整體思考。”

● 局部思考

學生分成小組討論交流，然后進行匯報。

生2：“由于15是3個數字的和，所以我們研究了將15拆分成3個不同數的方法。”

1+5+9　　　2+4+9　　　3+4+8　　　4+5+6

1+6+8　　　2+5+8　　　3+5+7　　　2+6+7

師：“這些算式中，哪個數字最特殊？為什么？”

生3：“5最特殊，因為5在8個算式中出現的次數最多，共出現了4次。”

師：“5應該放在哪個位置？2、4、6、8又該放在哪兒呢？為什么？”

生3：“5必須放在中間位置，因為只有中間位置上的數字在計算3個數字之和的時候會用到4次。”

生4：“2、4、6、8必須放在4個角的位置上，因為只有4個角的位置上的數字在計算3個數字之和的時候會用到3次。而且只有2、4、6、8這4個數字在8個算式中出現了3次。”

師：“根據大家的說法，我們來填一填。驗證一下，橫行、豎行、斜行3個數字的和是不是15。最后，大家反思一下，我們是如何解決這個問題的呢？”

生3：“我們先整體思考和計算出格子中橫行、豎行、斜行上3個數字的和是15，再局部思考和觀察組成15的3個數字的具體可能，通過對比找到特殊數字和特殊位置就可以填寫了。”

師：“真了不起，大家不光能從整體思考，還能關注到局部特征。”

環節四，以史為鑒，拓展認知

師：“今天我們研究的是我國古代著名的三階縱橫圖，稱為‘九宮’。由于它是由3行、3列組成的，又被稱為三階幻方。今天這節課，我們就主要研究的是三階幻方。”

接下來，教師通過環節三得出的思考方式引導學生解答下面的問題。

學生解答完后，教師向學生講述中國古代與三階幻方有關的故事。

相傳，與九宮相關的圖形出現在4000多年前，那時，有一條名叫洛河的河流頻繁泛濫成災。大禹帶領百姓去治理洛河。在這一過程中，一只巨大的烏龜從河中浮現，其背上長有紋、圈、點，且自列成組，形成一幅奇異的圖。這幅圖被人們稱為“洛書”。

…………

數學史中的故事可以有效地激發學生學習數學的興趣，使課雖終結而思維不止。在教學中教師引導學生對問題解決過程的認識已經不僅僅局限在數學或科學領域，而是上升到世界觀的高度。雖然現階段的學生不可能全面地理解，但種子已悄然種下。這體現的是一種“大數學觀”。

（五）體現文化感受提升功能

數學創造出各種超越直接經驗的數學結構來描繪大自然和人類社會，大大發展了人類的理性思維，促進了人類思想的解放，豐富了人類的精神世界。作為數學文化載體的數學史在揭示理性思維的文化淵源、培養學生數學文化素養等方面具有獨特的教育價值。例如，我們在教學中可以借鑒著名特級教師華應龍在講授“圓”這一課時的教學片段。

華應龍老師（以下簡稱華老師）：“孩子們，我們以前認識圖形特征通常是從邊和角兩個方面來進行的。圓作為我們熟知的幾何形狀，無疑也具備了大家所討論的這些特征。那么，你們是否知道，古人是如何描述圓的特征的呢？”

華老師在黑板上寫道：圓，一中同長也。

華老師：“你們明白這句話的意思嗎？‘一中’指什么？”

生（學生們爭搶著回答）：“一個中心點。”

華老師：“那什么是‘同長’？”

生（學生們爭搶著回答）：“半徑的長度都是一樣的！直徑的長度都是一樣的！”

華老師：“那么，圓有這個特征嗎？”

學生們認可地點頭。

華老師：“難道正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形（見下圖），它們不是‘一中同長’嗎？”

正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形“一中同長”示意圖

學生們沉默了，都專注地思考著。片刻后，學生們的手陸續舉起來。

生1：“如果我們從三角形的中心向其3條邊作線段，那么這3條線段的長度通常是不相等的。”

華老師：“哦，原來當我們將三角形的中心與三角形的3個頂點相連時，這3條線段的長度是相等的。然而，如果連接的是三角形上非頂點的其他位置，那么這些線段的長度就不再相等了。那么，圓呢?”

生（學生們紛紛回答）：“都一樣！一樣長！”

華老師：“是啊，圓心到圓周上的點的距離都是一樣的，沒有哪個點搞特殊！正三角形內，中心到頂點相等的線段有3條，正方形內有4條，正五邊形內有5條……那圓呢？”

生2：“無數條。”

華老師：“為什么是無數條？”

生3：“因為圓上有無數個點。”

華老師：“那誰來說說，半徑是一條怎樣的線段？”

生1：“一端在圓心，另一端是圓上任意的一個點。”

華老師：“請看（課件演示正多邊形邊數不斷增多最終轉變成圓的動態過程）。”

生3：“正多邊形逐漸變成了圓形！”

華老師：“現在是正819邊形。”

生2：“哇！”

華老師：“看到剛才的畫面，你們有什么想法？”

生（學生們爭著站起來）：“我認為圓是一個正無數邊形！”

華老師：“佩服、佩服！用老子的話來說就是‘大方無隅’。‘大方’就是指最大的方，同學們猜一猜‘隅’是什么意思？”

生（學生們異口同聲）：“角！”

華老師：“真佩服！不用猜都知道！這樣看來，圓是不是一中同長？”

生4：“對！”

華老師：“‘圓，一中同長也。’這句話是墨子說的。墨子的發現比西方人早了1000多年……那就讓我們帶著這份自豪，試著以古人的樣子讀一讀這句話。”

…………

在這個教學片段中，華老師在引導學生初步探究并得出圓的特征之后，引出了古人對圓的特征的認識——“圓，一中同長也。”為了體現圓的獨特之處，華老師又將圓與正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形進行對比，一點一點地完善學生對圓的特征“一中同長”的深入理解。學生在這個過程中積極思考，與華老師進行有意義的交流，教學過程流暢自然。華老師通過引導讓學生發散了思維后，再拋出與學生既有思維的矛盾點，讓學生積極思考的同時領會數學的嚴謹性，這樣學生在習得了知識的同時，推理、想象和思辨的能力也得到了培養。

華老師重視對數學史料文化功能的挖掘，而沒有將數學史料作為教學的點綴。這點主要體現在華老師給學生講解墨子的“一中同長”、老子的“大方無隅”思想，帶學生體驗古人的智慧上。

歷史上，唐太宗李世民正是借鑒了隋朝衰敗的歷史教訓，任賢納諫，開創了“貞觀之治”。英明的帝王“以古為鑒”可以促進一個國家的發展，決定一個民族的命運。這一歷史借鑒的重要性同樣適用于教育領域。教師通過借鑒數學史，可以完善教學結構，豐富教學內容，提升教學效果，并落實學科素養。數學史的教育作用在于使學生體驗數學家的嚴謹態度和思維方式，增進學生對數學系統結構的理解，促進知識的有效遷移，幫助學生形成良好的數學觀念。