前言

分數階微積分的相關理論起源于 17 世紀末萊布尼茨寫給洛必達的信中，距今已經超過 300 年。然而，分數階微積分理論在各領域的應用，在近些年才逐漸興起——人們逐漸發現分數階微積分能夠刻畫自然科學與工程應用領域的一些非經典現象——在圖像處理領域，分數階微積分就扮演著重要的角色，具有獨特的作用和廣闊的應用前景。

例如，在圖像去噪中，分數階微分算子能夠加強信號中的高頻成分，同時非線性地保留低頻成分，從而可以有效去除噪聲并保留圖像的邊緣特征和紋理細節信息。此外，在圖像增強、重構、分割、復原及特征提取等任務中，使用分數階微積分改變圖像的亮度分布和對比度，可以有效增強圖像的清晰度。隨著計算能力的進步，分數階微積分在處理非線性問題時甚至可以突破傳統整數階微積分的限制，將階次推廣至無理數，為復雜圖像的處理提供更多可能。

隨著現代科技的不斷進步，各式各樣的圖像處理新方法不斷地被發掘出來。與此同時，數學理論研究的深入、計算機性能的穩步提升，為圖像處理領域帶來了更多的可能性。本書以分數階微積分及其在圖像處理中的應用為主題，從數學角度出發，對相關的理論和方法進行歸納總結，旨在推動數學與圖像處理領域的交叉與融合。通過特定的分數階微積分定義與圖像處理領域的重要工具——傅里葉變換和分數階傅里葉變換，建立分數階微積分與圖像變換的關系。書中首次提出分數變階微分的概念，進而設計基于分數變階微分的圖像去噪模型、圖像復原模型和圖像分割模型，實現分數階微積分在圖像處理領域的交叉應用。本書的主要特色如下。

（1）跨學科整合。本書將數學理論與圖像處理技術相結合，為讀者提供了一個跨學科的視角。分數階微積分作為一個強大的數學工具，通常在純數學領域中被深入研究，而本書展示了如何將這些復雜的數學概念應用于實際的圖像處理問題。這有助于讀者理解數學理論如何影響實際應用，以及工程與計算機技術背后的數學原理，從而促進兩個領域之間的對話和合作。

（2）強調實用性。書中提出的基于分數變階微分的圖像去噪、復原和分割模型，在實際應用中能夠有效地解決圖像中的噪聲問題和恢復圖像的細節信息，這對于許多涉及圖像質量改善的領域（如醫學成像、遙感探測、數字攝影等）都是極其重要的。

（3）注重創新性。本書首次提出了分數變階微分的概念，這一新概念的提出，無疑為圖像處理領域帶來了新的思路和方法。同時，基于這一新概念，本書還設計了新的圖像去噪模型、圖像復原模型和圖像分割模型，這些模型的出現，對于推動圖像處理領域的發展具有重要意義。

鄭州航空工業管理學院分數階微積分圖像處理課題組的研究生王璐瑤、吳澄俊、段康、高俊銘參與了本書的撰寫，做了大量有意義的研究工作。同時，本書的出版獲得了鄭州航空工業管理學院科研團隊支持計劃專項（No.23ZHTD01005）、河南省科技攻關項目（No.242102210150、No.232102210151）、河南省重點研發專項（No.231111212000）、河南省高等學校青年骨干教師培養計劃項目（2020GGJS172）、河南省高校科技創新人才支持計劃項目（22HASTIT020）、河南省杰出外籍科學家工作室（No.GZS2022011）等項目的支持，并得到航空航天電子信息技術河南省協同創新中心、航空航天智能工程河南省特需急需特色骨干學科群、河南省通用航空技術重點實驗室的資助。

由于作者學識水平有限，書中難免存在疏漏與不妥之處，敬請廣大讀者批評指正。編輯電子郵箱為jiahongfei@ptpress.com.cn。

編者

2024年10月