三、布萊克－斯科爾斯模型

布萊克－斯科爾斯模型把隨機過程的數學方法引入金融資產定價的研究中，該模型引發了金融理論研究的第二次數學革命。布萊克－斯科爾斯模型能夠解決歐式期權的定價問題（Black & Scholes, 1973）。

（一）布萊克－斯科爾斯模型的假設條件

歐式看漲期權的布萊克－斯科爾斯模型的假設條件是：（1）期權的標的資產是股票，該股票允許被自由地買進或賣出；（2）期權是歐式看漲期權，在期權有效期內，其標的資產不存在現金股利的支付；（3）市場不存在交易成本和稅收，所有證券均完全可分割；（4）市場不存在無風險的套利機會；（5）市場提供了連續交易的機會；（6）存在著一個固定的、無風險的利率，投資者可以按此利率無限制地借入或貸出；（7）期權的標的股票的價格呈對數正態分布。

（二）布萊克－斯科爾斯模型的主要內容

設c代表歐式看漲期權的價值，X代表期權的合同價格，S代表標的資產（股票）的市場價格，T-t代表期權的剩余期限，r代表無風險利率，σ代表標的資產（股票）收益率序列的標準差。布萊克－斯科爾斯模型的主公式可以表示為：

公式（1.20）中N（.）代表標準正態分布的累計概率，d₁和d₂的公式如下：

可以通過看漲和看跌期權的平價定理，推導出歐式看跌期權的布萊克－斯科爾斯模型。在布萊克－斯科爾斯模型中，歐式期權定價的關鍵問題是對于標的資產收益率序列標準差（σ）的準確估計。

布萊克－斯科爾斯模型在以期權為核心的衍生產品的定價估計中具有非常重要的價值。在金融市場中，專業投資者也經常利用指數期權市場價格結合布萊克－斯科爾斯模型反向推出指數的隱含波動率，這一波動率被開發成市場恐慌指數（VIX）并被用于風險預測。