三、期望效用理論

在早期的決策理論中，學術界選擇貨幣的數學期望值作為人們決策的目標。在期望價值準則中，一個決策變量d的期望值等于它在不同自然狀態下的損益值乘上相對應的發生概率之和（郭立夫和李北偉，2006）。

式（1.1）中E（d_i）是決策變量d_i的期望值，d_ij是決策變量在狀態θ_j下的損益值，p（θ_j）是自然狀態θ_j發生的概率。期望價值準則認為，人們決策時會遵守期望價值最大化的原則。

1738年，俄羅斯圣彼得堡大學的尼古拉·伯努利提出了一個無法用數學期望值來解釋的“圣彼得堡悖論”。圣彼得堡實驗讓人們對以下彩票進行估值：，彩票中的整數和分數分別代表價值和概率。尼古拉·伯努利找到了很多圣彼得堡大學的學生和教授，他們對上述彩票的估值普遍是5到7，這與彩票無窮大的數學期望值相差甚遠。后來，經濟學家丹尼爾·伯努利采用“效用”來解釋彩票在人們心目中的價值。丹尼爾·伯努利認為效用是貨幣價值的函數，它呈現出邊際效用遞減規律。

早期的關于效用（Utility）的經濟學定義是：經濟主體從占有一定數量的某種物品中得到的滿足程度（熱敘阿，巴拉魯斯，維特里，等，2012）。雖然效用是經濟學的基本概念，但是效用的絕對數值無法直接計量。后來經濟學又發展出序數效用概念：效用是用來表達某經濟主體對供他選擇的一套元素的偏好順序（熱敘阿，巴拉魯斯，維特里，等，2012）。

1947年，馮·紐曼和摩根斯坦在其經濟學巨著《博弈論與經濟行為》中對于效用概念做出了嚴格的數學定義，并提出了期望效用理論。期望效用理論認為，彩票A=（x₁，p₁；x₂，p₂；…；x_n，p_n）(2)的期望效用值為：

式（1.2）是期望效用計算的基本公式，它的數學含義是：彩票A的期望效用值等于彩票中每個價值產生的效用的加權平均值。

根據《博弈論與經濟行為》著作中的數據結論，參照《經濟學詞典》中總結的馮·紐曼－摩根斯坦公理體系，本書歸納了期望效用理論的六條相關公理，它們是：

公理1：傳遞性公理（順序性公理）。假設有三種彩票A₁、A₂和A₃，如果三種彩票的偏好順序為，那么(3)。

公理2：連續性公理。假設存在三種彩票，如果三種彩票的偏好順序為，那么一定存在著一個A₁和A₃的組合，該組合等價于A₂。連續性公理認為偏好可以用連續性數字進行表達。

公理3：恒定性公理。對于相同問題的不同表達方式不影響決策結果。彩票的自身因素和彩票之間的關系是決策的關鍵，問題的描述方式與決策結果無關。

公理4：替換性公理。彩票A₁的價值可以被認定為一個數值解x_i。在決策過程中，彩票A₁和數值x_i可以相互替換。

公理5：獨立性公理。如果兩個彩票的偏好順序是A₁?A₂，假設有第三個彩票A₃，如果任意給定的數值α∈[0，1]，存在著以下關系：α A₁+（1-α）A₃?α A₂+（1-α）A₃。

公理6：一階隨機占優公理。如果彩票A₁在某一個方面優于彩票A₂，并且彩票A₁在其他方面都不亞于彩票A₂，那么A₁優于A₂。

期望效用理論的效用函數是一個包含上述六個假設性公理的泛函數，它具有嚴格的數學邏輯和規范的模型表達。期望效用理論在多數情況下符合人們的決策規律。期望效用理論在眾多經濟學家的完善下，成為經濟學的理論基石。