第一題

QUESTION 1

首先，這是一道與動點有關的題目。很多人碰到動點問題就犯怵，這可以理解。相較于確定和不變的東西，人們總是對不確定的、變化的東西心懷恐懼。而題目所要考察的往往是在變化中尋找和發現相對不變性的能力，這對許多人而言是一項比較高的要求。

對于這類動點問題，一般可以先考慮幾個特殊情況，從而對問題有個初步的把握，以消除內心的部分恐慌。

在本題中，當AM=CN=0時，M與A重合，N與C重合，BM+BN=BA+BC，此時BM+BN取得符合要求的所有情況里的最大值。

而如果M與D重合，則此時BM取得最小值，但BN并不取得最小值。反之，如果N為AC的中點，此時BN取得最小值，但BM并不是最小值。

我的第一個思考是利用對稱性，比如把BM轉換成下面的CM，但這樣CM和BN離得更遠了。顯然，這樣的輔助線沒什么效果。

這里就涉及作輔助線的一個基本原則：輔助線應該把題目中分散的條件最大程度地聯系起來，最好是聚合起來，而不是讓它們更分散。

怎么利用AM=CN這個條件？目前，這2條邊在圖中沒什么直接關聯，能不能讓它們跑到一起，變成一個等腰三角形之類的？

基于這一想法，我想到了下面的旋轉，即讓△BCN繞B點逆時針旋轉60°至△BAP的位置。此時可得：AP=CN=AM，∠PAB=∠NCB=60°，因此∠PAM=90°，從而△PAM為等腰直角三角形；同時，△BPN為等邊三角形，BN=BP=PN，因此BM+BN=BM+BP。

這種作輔助線的方法確實把許多條件聚合到了一起。但問題在于P點依舊為動點，仍然不能解決BM+BN什么時候最小的問題。

2次正面嘗試，都遭遇了挫折。這時，我不得不停下來，嘗試從結論來思考一下這個問題。

為了讓BN+BM最小，一般而言，我們需要下面這樣的模式。也就是找到一個P點，使得PN=BM，這樣BN+BM=BN+NP，從而，當B、N、P為一條直線時BN+BM取得最小值。當然，這有一個前提，也就是P點必須為定點！

為此，我們不妨先把BM搬到NP的位置，來逆向思考一下到底要作什么輔助線。

此時，如果我們連接PC，我們發現NP=MB，NC=MA，也就是△NCP和△MAB已經有兩條邊對應相等了。這一觀察發現顯然在引導我構造全等三角形。如果還有PC=BA，那么△PCN≌△BAM，此時應該有∠PCN=∠BAM=30°。

據此，我們就很容易得到下面的輔助線作法，即：作△PCN≌△BAM。由于∠PCN=∠BAM=30°，因此PC⊥BC，并且PC=BA為定長，這表明P點一定為定點。

從而，BM+BN=PN+BN。顯然，當B、N、P三點共線時BM+BN取最小值。此時，△BCP為等腰直角三角形，∠NPC=∠PBC=45°。

由于△BAM≌△PCN，因此∠ABM=∠CPN=45°。

從而，∠MBN=45°+45°-60°=30°。

當然，上面的做法是把BM搬家，我們是否可以進一步思考一下：能不能把BN搬家呢？其實也行，我畫了個示意圖，大家可以自行體會。這種思考方式，蘊含著對稱的思想。

所以你看，如果我直接把輔助線和答案寫出來，那就少了點兒意思。你可能會覺得原來這么簡單，也可能會驚呼：哇，昍爸你的靈感真好！但其實不然，我也是經過了挫折之后調整方向，才得到了正確的解法。而這個過程，涉及從條件出發和從結論出發兩方面的推進。解題其實很多時候大都是這樣，正著解題遇挫不妨反著再試試，兩方面同時推進，最后勝利會師！