自序

許多人在聽老師講課或看數學教輔書時常常會感嘆于一些數學題解法的簡練和精妙。但感嘆之余，總覺得缺少了點什么。是不是這樣的問題時常會讓你感到困惑。

我是不是笨？這樣巧妙的解法我怎么想不到？

類似這樣的問題，會讓大家對數學產生畏懼，覺得漂亮的解法遠在云端、遙不可及。解法越是精妙，越是讓人拍案叫絕，有時反而越會拉大數學與大家的距離。

這就好比觀看雜技或舞蹈演出，我們看到的是幾分鐘的精彩表演，看不到的是演員們為了這幾分鐘表演所經歷的無數次挫敗和所付出的辛勤汗水。

最早的時候，我在公眾號寫過兩篇題為《抽絲剝繭：一道幾何題的完整思考過程》和《動點問題不用怕？其實我怕得要命！》的文章，把幾道平面幾何題的完整思考過程（特別是看似神來之筆的輔助線背后的思考邏輯）一覽無余地展現給了大家。文章的留言道出了不少人的心聲，引起了大家的共鳴。

能把解題的思路和嘗試都寫出來，很難得，解題思路才是最重要的。很多時候看標準答案知道是怎么回事，但自己怎么都想不到解題思路，歸根結底還是沒有解決自己的思路到底卡在哪里的問題。

學數學從來就不是簡單的事！許多老師習慣于表演解題的虛假“秒殺”，而不愿意展現思維的曲折坎坷，這對學生的培養是十分不利的！真實的學習比什么都重要！

“老師，我感覺你可能是第一個坦誠的人，絕大多數人習慣于向別人展示輕而易舉、毫不費力的一面，只有你在我讀書的時候就告訴我很多講座你一開始也聽不懂。再比如這種題，它確實是需要思考，而不是一秒就能想到解決方法的。”

“看了這篇文章頓時不焦慮了，連張老師都害怕動點，哈哈哈，幸福果然是比較出來的。”

走彎路是太正常了，所以我除了反對那些××模型流派，其實更反對在學生面前保持絕對正確的教學，沒有任何探索的過程，讓學生覺得老師就是“神”，一眼看出輔助線怎么做。而當有一天，有個老師去教學生探索的時候，學生以為是這老師教學水平不行。但其實呢，難度大的題目如果一眼就知道怎么做，那只有一種可能，就是提前看過答案。

如果從小就是以這樣的思維教我，我也不至于一直自我懷疑，為什么別人和老師都能一下子就找到正確解法，而我卻思考很久還不一定能想出來，還得懷疑自己思考對了沒有。事實證明，老師也會存在和我類似的思維，甚至也用過“精確作圖”法。原來我只是不知道大家背后的思考過程其實都和我差不多。

有一點體會，也是讀碩士及博士之后才漸漸發現的，那就是要相信自己，并且要刨根問底！不要思考為什么其他同學好像都聽明白了，而自己卻依然有一大堆為什么。有了問題就要持續思考，實在想不明白就問。其他同學沒問題一般有兩種可能。一是他們真的徹底明白了，真的沒有問題。二是他們根本不知道自己哪里有疑問，也不知道自己哪里沒有徹底搞懂。現實生活中，我遇到第二種情況的概率遠大于第一種情況（確實會有第一種情況存在，只不過是概率問題）。但是無論如何，刨根問底總不會錯，請相信自己并持續思考。人總是要“笨”一點才好。

這些留言促使我再次思考起一個問題：一名優秀的數學教師應該教給學生什么？

我高中時的數學老師張志朝是一名數學特級教師和優秀數學奧林匹克競賽教練，他讓我印象最深刻的是上課時常常會即興講解一道題，從頭開始嘗試，把整個解題的過程毫無保留地呈現給我們。這期間走彎路是常有的事，有時到一堂課結束還沒有解完一道題。但正是這種抽絲剝繭的教學方法對我的影響很大，切切實實地提升了我解決難題的信心與能力。

作為對比，我聽聞某些中小學培訓一堂課要講十幾道題。這么快的節奏，顯然只能是直接給孩子“灌輸”正確的結果。更讓人擔憂的是，現在一些機構和所謂的教學名師，為大家總結出了五花八門的模型和套路，熱衷于表演解題的“秒殺技”。應用這些模型和套路確實能秒解不少為之量身定做的數學問題，但如果條件稍微變化一下，比如變成形似而神不似的問題，這種生搬硬套的做法就會暴露出巨大的問題。更重要的是，它的后遺癥會很嚴重。

在我看來，一名優秀的數學教師并不會一味追求教給學生更多知識，也不會單純教給學生最巧妙的解法，而是會給學生完整地展現整個思考過程，特別是自己從錯誤到正確的曲折思考過程。只有如此，才會讓學生覺得原來這些優美的解法（尤其是平面幾何中看似神來之筆的輔助線）并非是一蹴而就和遙不可及的，而是自己通過努力也可以觸摸到的。久而久之，學生碰到沒見過的難題才不會害怕。

題是做不完的，唯有背后的思維方法是解決一切問題的根本，能伴隨人的一生。正如一句名言所說：“當一個人把在學校里學到的知識忘掉，剩下的就是教育。”知識是精神和思維的載體，教育不能只關注載體，而忽視了本質。解題時展示標準答案背后苦苦求索的過程才是難能可貴的。

自從中學畢業后，我已經有20多年沒接觸過平面幾何了，直到兒子上初中后偶爾問我幾道題，我才又“撿”起平面幾何。現在再回看這些幾何問題，大部分第一眼看完沒有直接的思路。不過，得益于從小沒有在機械的套路中長大，解決問題都是以自我探索為主，所以碰到瞪了幾眼還不會的問題時，我并不會慌亂。

對我而言，現在每做一道題都相當于走一次迷宮。我跟常年工作于一線教學的中學數學老師宋書華聊起這個話題。我說自己現在面對每道題一開始都沒有思路，因為好多定理、公式和輔助線套路都忘光了，雖然會走不少彎路，花不少時間，但依靠教育在我身上留下的東西，最后基本也能解出題目。

每一次柳暗花明后，我都有一種酣暢的感覺。在解題過程中走的某些彎路，可能在一些一線教師看來缺乏技巧。但恰恰因為一線老師題目做多了，很容易把題一眼看穿，反而不太能對學生解這些題時所遭遇的曲折感同身受，也難以體會學生在黑暗中看到光明那一瞬間的狂喜。

宋老師坦言確實如此，他覺得類似我目前這樣的狀態才最符合學生的思維特點。

正是在這樣的背景下，我萌生了寫這樣一本平面幾何解題書的想法，希望能把自己最原始的想法從頭至尾都展示給讀者，讓大家不再害怕平面幾何問題。特別是，解平面幾何題不應只依賴于靈感和神來之筆，其背后應有一整套接地氣的方法與邏輯。本書在解題中所用的思維與方法，不是平面幾何所特有的，而是理工科解決未知問題的共性范式：觀察、發現、猜想、論證。當然，整個過程不可能一帆風順，而是伴隨著錯誤和反思的螺旋式上升的過程。

本書不以題目的數量和知識點的覆蓋面取勝，但為了不脫離一線教學，我邀請了前文提及的張志朝老師和宋書華老師一起來寫這本書。兩位老師的理念與我高度一致，教學經驗以及對平面幾何整體性和專業性的把握卻要勝過我許多。相比較而言，我更多是站在一名學生的角度去探索和求解問題，而兩位老師則更多是從教師的角度去啟發和引導學生思考，希望這兩種不同風格的講解也能如解題中的綜合法與分析法一樣勝利會師，最終為讀者完成一幅解題的完整拼圖。

昍爸
2023年3月