1.1.6 諧波

由于功率半導(dǎo)體器件的高速導(dǎo)通與截止，電力電子電路能產(chǎn)生非正弦波電流或電壓，這種畸變信號(hào)能夠發(fā)生周期性變化。采用傅里葉（Fourier）分析方法，在數(shù)學(xué)上任何重復(fù)的波形都可以用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)。

如果一個(gè)周期T＞0的非正弦信號(hào)以函數(shù)y（x）表示，則它的傅里葉級(jí)數(shù)為

式中，ω=2πf，。

式中，A₀為非正弦函數(shù)的平均值，表示非正弦波形的直流成分。具有頻率為ω的成分A₁sin（ωx+φ₁）稱為非正弦波形的基波。具有頻率為基波頻率整數(shù)（＞1）倍的成分稱為非正弦波形的諧波，比如2次諧波、3次諧波、4次諧波、5次諧波、6次諧波、7次諧波等。

如果周期函數(shù)y（x）滿足狄利克雷（Dirichlet）充分條件，那么它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，也就是函數(shù)y（x）在（-∞，+∞）上等價(jià)于傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)形式。這樣，該函數(shù)的有效值Y_rms為

函數(shù)的諧波總有效值Y_hrms為

采用總畸變率THD（total harmonic distortion）來(lái)表征非正弦函數(shù)的諧波含量，THD定義為諧波的有效值與基波的有效值的百分比。

圖1.13顯示了一個(gè)生成三角波電路的簡(jiǎn)單PSIM模型，它包括一個(gè)幅值10A、頻率50Hz的方波電流源ISQU1，電阻R₁=1Ω和電容C₁=3300μF。C1的初始電壓為-15V。仿真控制的步長(zhǎng)和時(shí)長(zhǎng)分別為10μs和0.1s，模型運(yùn)行結(jié)果有電阻電流和電容電壓曲線，如圖1.14所示。電容的端電壓是對(duì)方波電流的積分，產(chǎn)生了一個(gè)50Hz的等腰三角電壓波形。在Simview界面中，選擇菜單Analysis→THD，在彈出的THD框中設(shè)置Fundamental Frequency=50。這樣，計(jì)算圖1.14所示的方波和三角波的THD值，它們分別等于48.34%和12.25%。等腰三角波比方波更接近于相同頻率的正弦波，因此三角波的THD小得多。如遇到THD計(jì)算的點(diǎn)數(shù)不夠的錯(cuò)誤信息時(shí)，應(yīng)減小仿真步長(zhǎng)；比如步長(zhǎng)0.1μs不滿足波形的THD計(jì)算，將其擴(kuò)展為0.01μs即可。

當(dāng)一個(gè)周期函數(shù)y（x）的傅里葉級(jí)數(shù)收斂時(shí)，運(yùn)用歐拉（Euler）公式代入其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（1.9），能夠得到傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式。

運(yùn)用式（1.15）求解ω的微元形式，當(dāng)T→∞時(shí)，可以得到傅里葉變換及其逆變換。

在一個(gè)周期內(nèi)，y（x）包含基波、2次諧波、3次諧波……N次諧波，式（1.16）和式（1.17）可寫成離散傅里葉變換DFT（discrete Fourier transform）及其逆變換。

在DFT運(yùn)算中，包含大量的可重復(fù)的乘法運(yùn)算。為了開(kāi)發(fā)適合計(jì)算機(jī)的低運(yùn)算量的DFT算法，1965年Cooley和Tukey運(yùn)用式（1.20）的周期性和對(duì)稱性，提出了快速傅里葉變換算法FFT（fast Fourier transform）。FFT是最經(jīng)典的數(shù)字信號(hào)處理算法之一，在信息傳輸、頻譜分析、圖像處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，被集成在各種數(shù)學(xué)軟件中。

在PSIM軟件的Simview界面中，順序單擊菜單Analysis→Perform FFT，能夠顯示時(shí)域曲線的頻譜。針對(duì)圖1.14所示的50Hz方波電流和等腰三角波電壓的時(shí)域信號(hào)，使用FFT運(yùn)算生成在Simview界面中顯示的頻譜曲線，如圖1.15所示。方波和三角波有相同的基波和諧波頻率，兩個(gè)基波的幅值分別約為13A和12V。但是，圖示的三角波比方波的諧波幅值小得多，這也能說(shuō)明三角波比方波有更小的THD。另外，PSIM軟件也集成了FFT的控制功能函數(shù)，可選擇Element→Control→Other Function Blocks→FFT實(shí)現(xiàn)。該FFT模塊的輸入為時(shí)域信號(hào)，設(shè)置的參數(shù)包括信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)（no.of samples）和基波頻率（fundamental freq.），輸出為基波的幅值和相位。