1.2.3 Soyster魯棒線性優(yōu)化方法

對于如式（1.1）所示的一般魯棒線性優(yōu)化模型，其目標函數(shù)以及約束右邊項中的不確定參數(shù)可以方便地通過引入輔助變量或者移項的方式等價轉(zhuǎn)移到約束的左邊項中，因而，約束左邊項中含有不確定參數(shù)的魯棒優(yōu)化問題是具有普遍性和重要意義的。Soyster較早地研究了這一類問題，他針對線性優(yōu)化約束矩陣的系數(shù)不確定問題，設(shè)計了一套有效的求解方法，被稱為Soyster方法[11]。

考慮下面的線性優(yōu)化問題：

假設(shè)不確定參數(shù)僅存在于系數(shù)矩陣A中，即認為目標函數(shù)系數(shù)c和約束右邊項b是確定的。令m×n階系數(shù)矩陣A=（a_ij）=（a₁，a₂，…，a_m），a_i∈Rn，?j，其中，a_i為行向量，并令為a_ij的估計值。J_i是系數(shù)矩陣A第i行中所有不確定參數(shù)a_ij列下標j的集合，且a_ij任意取值于區(qū)間中，其中，ρ≥0是反映不確定水平的參數(shù)。

由此，對于某一約束a_ix≤b_i而言，x為可行解的充分條件為

式（1.9）又可描述為

其中，

進而，可以表示為

式（1.12）通過找到約束對應最大化問題解的規(guī)律，使約束中的不確定參數(shù)被去除了。從而，使得原優(yōu)化問題等價于

進而，為去除約束中的求絕對值運算，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)線性優(yōu)化問題，引入新的決策變量k，使式（1.13）又等價于

式（1.14）即為Soyster所給出的魯棒優(yōu)化的求解模型。該模型把不確定的線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定的線性優(yōu)化問題，同時保證了所求的最優(yōu)解在不確定參數(shù)在給定范圍內(nèi)取值時，所有約束都可以得到滿足。