1.2.2 魯棒不確定集的構成

由魯棒優化的基本思想可知，模型中不確定參數的變化范圍將構成一個確定的有界集合，優化過程則將依據集合邊界，尋找最劣擾動情況下的最優解。據此思路，對解保守性的控制即體現為對不確定集合規模的控制，這是關系到模型求解效率和保守性的重要問題。

當前研究中常采用盒式不確定集、多面體不確定集、橢球不確定集等形式描述不確定參數的變化范圍[7]。本節將對各類不確定集合的特點及其解的保守程度進行簡單分析。

為方便描述，設不確定參數的不確定區間相對于估計值對稱，如對于不確定參數，有如下定義[8,9]：

式中，a_ij為參數的估計值；為給定常量；ξ_ij為獨立不確定變量；J_i為約束i中的不確定系數子集。

1.盒式不確定集

區間是描述不確定參數波動范圍的一種基本形式，由區間直接構成的不確定集被稱為盒式不確定集，對于式（1.3）所示不確定參數的表達方式，盒式不確定集可以表示為[10]

式中，Ψ是控制不確定集大小的可調參數。

盒式不確定集對單一不確定參數的擾動邊界設定了限制，優化模型將保證不確定參數區間邊界內各種實現情況的可行性，而不考慮參數超出區間邊界的情況，因此，盒式不確定集通過調整區間的覆蓋范圍來決定決策結果的保守性。

2.多面體不確定集

盒式不確定集限定了單一不確定參量的擾動范圍。然而，所有擾動同時到達邊界的情況并不太可能發生，這是由中心極限定理所決定的，與個體不確定參數遵循何種概率分布無關。由此，可以通過對不確定參數同時達到擾動邊界的數量的限制，來描述現實中的這種規律，從而構成多面體不確定集，表示為

式中，Γ是控制不確定集中同時到達邊界不確定量多少的可調參數，表征了擾動之間的相互關聯，用以控制模型的保守度。

3.橢球不確定集

橢球不確定集是另一類可以限制擾動同時率的集合描述形式，其與多面體不確定集含義相似，不過采用的是二范數的形式來控制集合的大小。

式中，Ω是控制不確定集大小的可調參數。

4.組合不確定集

顯然，不管是多面體集合或是橢球集合，集合內超出不確定量自身擾動邊界的部分都是沒有意義的。由此，可以通過盒式不確定集與多面體或橢球不確定集的交集，來限定不確定量的擾動范圍。其中，盒式不確定集用以限定每個不確定量的擾動范圍，而多面體或橢球不確定集用以限定各個不確定量擾動的同時率。如以橢圓集與盒式集為例，圖1.2給出了兩種集合幾種關系下的交集（多面體集與之類似，不再贅述）。

在圖1.2中，不確定集可由式（1.7）表示：

圖1.2中，盒式不確定集的控制參數Ψ=1。在前兩幅子圖中，橢圓集參數0<Ω≤1，不確定量的擾動范圍完全由橢圓集所確定，其中，在Ω=1時，橢圓集恰好內接盒式集。在第三幅子圖中，，這里，|J_i|表示約束i中不確定量的維數，圖中|J_i|=2。此時，不確定量的擾動范圍由橢圓集和盒式集共同決定。在第四幅子圖中，，此時盒式集內接橢圓集，在此種情況下，乃至Ω更大的情況下，不確定量的擾動范圍都是由盒式集決定的。

需要注意的是，不同形式的擾動集合，其應用場景也是不同的。在本書所提出的系列有效安全域方法中，有效安全域將采用盒式不確定集的表達形式。采用這種不確定集的表達形式有一種突出的優點，就是在所形成的有效安全域中，各不確定量被允許的擾動范圍將是相互獨立的。也就是說，任何一個不確定量不需要事先獲知其他不確定量的真實實現，就可以明確自己被允許的擾動范圍。這一特性特別重要，它更加符合電力系統運行的實際情況，使我們在確定調度計劃的同時，就可以下發系統各個節點所能夠接納的擾動范圍，為多層協同的系統運行提供重要的控制信號（顯然，橢圓、多面體不確定集由于存在多個不確定量之間的關聯約束，并不具有這一特性）。