2.1　傅里葉分析

2.1.1　確定信號的傅里葉變換

傅里葉變換一般指連續信號的傅里葉變換，也可以是傅里葉變換、傅里葉級數、離散時間傅里葉變換、離散傅里葉變換的統稱。根據信號類型的不同，傅里葉變換有不同的名稱，如表2.1所示。

連續信號的傅里葉變換定義如下。

定義1　確定性信號的傅里葉變換定義為

（2.1）

其中，是實數集，是復數單位，表示是上的平方可積信號，也指物理上的能量型信號；保證了傅里葉變換的存在性。

相應地，逆傅里葉變換表示為

（2.2）

逆變換給出了一種信號在復正弦基函數上的分解形式，其中每個復正弦基函數的“強度”為。按照此理解，小波變換、分數傅里葉變換等都是在不同基函數上的分解。這里也可以發現，當信號可表示為有限個復正弦函數的加和時，其傅里葉分解有簡潔的表示形式。但如果在以線性調頻函數為基函數上展開時，需要用無窮多個基函數逼近。這里就引申出“匹配”的概念，即信號類型與變換基函數的類型相一致時，在這種基函數上的展開有最簡潔的形式。這對于數據處理和壓縮都很有幫助。當然，也存在沒有固定基函數的變換，例如，經驗模態分解和奇異譜分析等，這類變換也可以看作信號自適應的變換。本書關注的是有固定基函數的變換。

上述定義的正逆傅里葉變換有系數的差別，因此也有對稱形式的傅里葉變換定義

（2.3）

相應地，其逆變換表示為

（2.4）

以下介紹的分數傅里葉變換和線性正則變換都是這種形式定義的傅里葉變換的廣義形式。

除可逆性，傅里葉變換還有許多優良性質，列舉如下。

（1）共軛性質：令，則有，其中，表示的共軛。

（2）平移性質：令，則有。

（3）調制性質：令，則有

（4）微分性質：令，則有，其中是微分算子。

（5）帕塞瓦爾定理：，其中，表示內積運算。

（6）卷積定理：，其中，是卷積運算算子。在卷積運算中，函數和的位置可互換。卷積運算可表示線性時不變系統輸入輸出之間的關系，此時，為系統的沖激響應；卷積算子還可表示兩個隨機變量和的概率密度函數，此時，和分別表示兩個相加的隨機變量的概率密度函數。卷積神經網絡中所利用的卷積運算其實是信號處理中的相關運算。

卷積運算的頻域表征為：

（2.5）

該定理使頻域乘性濾波器的設計成為可能，可幫助快速實現卷積神經網絡。

表2.2中列舉了一些常見函數的傅里葉變換。

傅里葉變換在工程領域的廣泛應用得益于快速傅里葉變換的提出和發展。通過快速傅里葉變換，一個N點序列的傅里葉變換的計算復雜度可從降低到。

擴展：傅里葉變換不僅可以提供信號的頻域表征，也可以幫助求解微分方程，還可以用于深度學習的卷積神經網絡算法中。調和分析作為現代數學分析的代表，正是從傅里葉變換和傅里葉級數發展起來的。

傅里葉變換為信號分析提供了除時域的另一個視角，同時也為線性時不變系統的分析和處理提供了新工具。線性時不變性是很多物理系統所具備的性質。為了充分利用系統的線性和時不變性，這里首先對離散信號進行分析，再利用求極限的思想拓展到連續信號。

任意一個序列都可以表示為移位的單位脈沖序列的線性組合，即

（2.6）

記為線性時不變系統對單位脈沖的響應，則利用系統的時不變性可知，對于單位脈沖的移位的系統響應為。利用系統的線性和時不變性可知，對于輸入為的系統的輸出為

（2.7）

這正是離散卷積的表示。對于連續信號，可由無窮求和逼近

（2.8）

其通過線性時變系統后的輸出為

（2.9）

隨著，等式（2.8）和等式（2.9）所表示的極限可分別用積分表示為

（2.10）

（2.11）

這正是連續函數的卷積表示。由傅里葉變換的卷積定理可知，信號經過線性時變系統后的輸出可由時域里的卷積計算得到，也可由頻域里的乘積運算得到。鑒于快速傅里葉變換的發展，在實際計算過程中會更多地用到第二種方法。