1.1.4 平面機構自由度

機構中各構件相對于機架所能有的獨立運動的數目稱為機構自由度。若機構中沒有獨立運動的數目，則該機構無法運動。因此討論機構的自由度個數與機構能否產生相對運動有著必然的聯系。

1.機構自由度計算

如前所述，每個活動構件在平面內都有三個自由度，當兩個構件組成機構時必然要增加運動副，它們的相對運動就會受到約束，自由度相應地減少，不同種類的運動副引入的約束數不同。在平面機構中每引入一個低副，就限制了兩個自由度；每引入一個高副，就限制了一個自由度。因此，如果一個平面機構中有n個活動構件，這些活動構件的自由度總數為3n；在機構中如果存在PL個低副，低副引入的約束數為2PL，機構自由度的個數就相應地減少2PL；在機構中如果還存在PH個高副，而高副引入的約束數為PH，則機構自由度的個數就又相應地減少PH。如果機構的自由度個數用F表示，則機構自由度個數為

上式就是計算平面機構自由度的公式。

例1-4 計算如圖1-10所示顎式破碎機的主體機構的自由度。

解：由圖可知，該機構共有3個活動構件，4個轉動副，沒有高副，即n=3、PL=4、PH=0。由式（1-1）可得

F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1

例1-5 計算如圖1-12所示活塞泵及其機構的自由度。

解：由圖可知，該機構共有4個活動構件，4個轉動副和1個移動副（共5個低副），1個高副，即n=4、PL=5、PH=1。由式（1-1）可得

F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-1=1

2.計算機構的自由度時應注意的問題

在計算平面機構自由度時，還有一些特殊的問題需要注意，否則會導致自由度計算錯誤，因此將注意事項做個說明。

（1）復合鉸鏈 由三個或三個以上構件在同一條軸線上形成的轉動副稱為復合鉸鏈。如圖1-13a所示為組合機構運動簡圖，C處是由構件2、構件3與構件4通過同一根軸線形成的復合鉸鏈，其具體結構如圖1-13b所示，同理，由N個構件組成的復合鉸鏈包含的轉動副數目應為（N-1）個。因此，該機構在C點為含有兩個轉動副的復合鉸鏈，而在A、B、D、E、F點各有一個轉動副。所以該機構共有5個活動構件，7個轉動副，沒有高副，即n=5，PL=7，PH=0。由式（1-1）可得

F=3×5-2×7-0=1

（2）局部自由度 局部自由度是指機構中某些構件所具有的自由度僅與其自身的局部運動有關，不影響其他構件運動，即對整個機構運動無關的自由度。在計算機構自由度時應將局部自由度排除。

如圖1-14a所示的凸輪機構，為了減小接觸面間的摩擦和磨損，在從動件端部安裝了滾子。可以看出，凸輪1繞著O點回轉時，從動件2上下移動，滾子繞著B點轉動，滾子轉動的速度與從動件2的運行速度無關，所以滾子繞其中心的轉動是一個局部自由度。

如果直接用式（1-1）對如圖1-14a所示機構計算自由度，可知n=3、PL=3、PH=1，故機構自由度為F=3×3-2×3-1=2。但機構的實際自由度為1，計算結果中包含了一個滾子的局部自由度。為了在計算機構自由度時排除這個局部自由度，可設想將滾子與從動件焊成一體（轉動副B也隨之消失），轉化成如圖1-14b所示形式。用式（1-1）對其進行自由度計算，此時該機構的n=2、PL=2、PH=1，故F=3×2-2×2-1=1，與機構的實際自由度相等。

（3）虛約束 在機械應用中，常常為了增加機構的剛度或保證機械運動的順利進行，而增加一些重復作用的構件或運動副，但加入的這些構件和運動副對整個機構的運行不會產生任何影響。這種對機構間的相對運動不起獨立限制作用的約束稱為虛約束。在計算機構自由度時，將具有虛約束運動副的構件連同它所帶入的與機構運動無關的運動副一并不計。

平面機構中的虛約束常出現在下列場合。

1）重復的運動軌跡。在機構中，若將兩構件在連接點處拆開，兩構件上連接點處的運動軌跡重合，則該連接帶入虛約束。如圖1-15a所示機構中，若將桿3和桿5在E點拆開，因為桿3上E點的軌跡和桿5上E點的軌跡重合，所以桿5對桿3的約束為虛約束。在計算該機構自由度時，應當先去除桿5，即轉化成如圖1-15b所示的機構運動簡圖，則該機構自由度為F=3×3-2×4-0=1。若不去除虛約束，直接按如圖1-15a所示機構簡圖計算自由度，則得到F=3×4-2×6-0=0，這顯然是錯誤的。

2）重復的移動副。當兩構件之間組成多個導路平行的移動副時，只有一個移動副起作用，其余都是虛約束。如圖1-16所示機構中，頂桿1與氣缸體2之間組成兩個導路平行的移動副，其中之一為虛約束。

3）重復的轉動副。當兩構件之間組成多個軸線重合的轉動副時，只有一個轉動副起作用，其余都是虛約束。如圖1-17所示機構中，為了增加軸的剛度，該軸與機架組成了三個轉動副，這時只有一個轉動副起作用，其余均為虛約束。

4）重復的高副。如圖1-18所示輪系，為了改善受力情況，中心輪1通過兩個對稱布置的小齒輪2和2′驅動內齒輪3。其中有一個小齒輪對傳遞運動不起獨立作用，該小齒輪的加入，使機構增加了一個虛約束（加入一個構件增加三個自由度，但組成一個轉動副和兩個高副，將會引入四個約束）。

例1-6 計算如圖1-19a所示篩料機構的自由度。

解：由圖可知，機構中的滾子有一個局部自由度；頂桿與機架在E點和E′點組成兩個導路平行的移動副，其中之一為虛約束；C點處是復合鉸鏈。現將滾子與頂桿焊成一體，去掉移動副E′，算清楚C點轉動副數為2。由圖1-19b可得n=7、PL=9、PH=1，故F=3×7-2×9-1=2。機構自由度等于2，需具有兩個原動件。

例1-7 計算如圖1-20所示機構的自由度。

解：由圖可知，凸輪和大齒輪焊接在一起，為一個活動構件，機構中的滾子有一個局部自由度D；I點和J點組成兩個導路重合的移動副，其中之一為虛約束；F點處是復合鉸鏈。現將滾子與頂桿焊成一體，去掉局部自由度D和滾子，算清楚F點轉動副數為2。

由上述可知該機構中共有9個轉動副，1個移動副，1個復合鉸鏈，2個高副，所以n=9、PL=12、PH=2，故F=3×9-2×12-2=1。機構自由度等于1。

3.平面機構具有確定相對運動的條件

由前述可知，機構的自由度是機構中各活動構件相對機架所具有的獨立運動個數，機構要想運動，其自由度必須大于零。由于每一個原動件只可從外界接受一個獨立的運動規律，因此，當機構的自由度為1時，只需有一個原動件；當機構的自由度為2時，則需有兩個原動件。故機構間具有確定相對運動的條件是機構的自由度數目等于原動件數目且自由度大于零。

若自由度數目大于原動件數目，則機構運動不確定；若自由度數目小于原動件數目，則機構將在最薄弱的環節斷開。