1.2.3　單位沖激響應

對于零狀態的線性時不變系統，當輸入為單位沖激序列δ（n）時，系統的輸出稱為系統單位沖激響應，也可以稱為單位抽樣響應或脈沖響應，用h（n）表示，即

單位沖激響應如圖1-37所示。

例如，向前差分系統可以表示為y（n）=x（n+1）-x（n），其單位沖激響應為h（n）=δ（n+1）-δ（n）。向后差分系統可以表示為y（n）=x（n）-x（n-1），其單位沖激響應為h（n）=δ（n）-δ（n-1）。理想延時系統為y（n）=x（n-n_d），其單位沖激響應為h（n）=δ（n-n_d）。

單位沖激響應是表示離散系統時域特征的一種有效方式。利用單位沖激響應可以求解任意輸入作用下的線性時不變系統的輸出。

設系統輸入為x（n），因為任意序列都可以表示為單位沖激序列移位加權和的形式，即

則系統輸出為

因為系統具有線性，上式可以寫成

同時系統還滿足時不變性，則

說明對于一個線性時不變系統，可以利用其單位沖激響應h（n）來表示，如圖1-38所示。

系統的輸出響應等于系統輸入和該系統單位沖激響應的卷積和，即

例1-25　試求累加器系統）的單位沖激響應h（n）。

解：令輸入x（n）=δ（n），此時系統的輸出就是累加器系統的單位沖激響應。

可見，累加器系統的單位沖激響應為單位階躍序列u（n）。

例1-26　已知一個線性時不變系統，單位沖激響應為h（n）=an·u（n），0＜|a|＜1，試求在系統輸入信號為x（n）=u（n）-u（n-4）時系統的輸出響應y（n）。

解：

因為

x（m）：0≤m≤3　　h（n-m）：0≤n-m

若要同時滿足上面兩個不等式，需要對n進行討論。

（1）n＜0, y（n）=0；

（2）0≤n≤3，則0≤m≤n

（3）n＞3，則0≤m≤3

綜上所述，得