第三節(jié) 傳遞函數(shù)的框圖

一、框圖的四要素

傳遞函數(shù)的框圖是把元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)寫在相應(yīng)的方框中，并用箭頭把框圖連接起來，表明信號的傳遞方向。傳遞函數(shù)的框圖給控制系統(tǒng)的分析帶來了極大的方便。

傳遞函數(shù)的框圖的四要素如圖1-6所示。

1.信號線

信號線用箭頭表示信號單向傳遞的方向，在線上寫出信號的時間函數(shù)或它的象函數(shù)。如圖1-6a所示。

2.引出點

即信號線的分叉點。如圖1-6b所示。同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。

3.匯合點

匯合點也稱比較點，用符號“?”表示。匯合點只有一個輸出信號，但可以有兩個或兩個以上的輸入信號，并在輸入信號旁邊標注“+”或者“-”號，表示信號相加或者相減。其輸出信號等于各個輸入信號的代數(shù)和。如圖1-6c所示。

4.環(huán)節(jié)

每一個方框表示一個環(huán)節(jié)或一個系統(tǒng)，方框內(nèi)要填寫環(huán)節(jié)或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖1-6d中，X_i(s)為環(huán)節(jié)的輸入信號，X_o(s)為環(huán)節(jié)的輸出信號，G(s)為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。顯然X_o(s)=G(s)X_i(s)。

二、框圖的等效變換法則

傳遞函數(shù)的框圖有三種基本連接方式，即串聯(lián)、并聯(lián)和反饋。系統(tǒng)框圖在進行等效變換時有以下幾種變換法則。

1.串聯(lián)連接的等效變換

環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)首尾相連，前一個環(huán)節(jié)的輸出，作為后一個環(huán)節(jié)的輸入。這種結(jié)構(gòu)形式稱為串聯(lián)連接，如圖1-7a所示。

從圖1-7a可得

X₁(s)=G₁(s)X_i(s)

X_o(s)=G₂(s)X₁(s)

所以

X_o(s)=G₁(s)G₂(s)X_i(s)=G(s)X_i(s)

因而

G(s)=G₁(s)G₂(s)

可見串聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)等于各傳遞函數(shù)的乘積。圖1-7b是圖1-7a的等效框圖。

同理，若有幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)為各傳遞函數(shù)之積。

2.并聯(lián)連接的等效變換

兩個或多個環(huán)節(jié)，如果它們有相同的輸入量，而輸出量等于各個環(huán)節(jié)輸出量的代數(shù)和，這種結(jié)構(gòu)形式稱為并聯(lián)連接。如圖1-8a所示，由圖可知

X₁(s)=G₁(s)X_i(s)

X₂(s)=G₂(s)X_i(s)

X_o(s)=X₁(s)±X₂(s)

從而得到

X_o(s)=[G₁(s)±G₂(s)]X_i(s)=G(s)X_i(s)

因而

G(s)=G₁(s)±G₂(s)

可見并聯(lián)連接的等效傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。圖1-8b是圖1-8a的等效框圖。

同理，若有幾個環(huán)節(jié)相并聯(lián)，其等效傳遞函數(shù)等于各傳遞函數(shù)的代數(shù)和。

3.反饋連接的等效變換

圖1-9a所示為具有反饋連接的框圖。圖中G₁(s)為前向傳遞函數(shù)，H(s)為反饋傳遞函數(shù)。圖1-9a中可以看到反饋連接的特點是一個環(huán)節(jié)的輸出，輸入到另一個環(huán)節(jié)，得到的輸出再返回到前一個環(huán)節(jié)的輸入端。

從圖1-9a中可以看到

X_o(s)=G₁(s)X₁(s)

X_f(s)=H(s)X_o(s)

X₁(s)=X_i(s)±X_f(s)

經(jīng)整理，消去中間變量X₁(s)和X_f(s)可得

X_o(s)[1±G₁(s)H(s)]=G₁(s)X_i(s)

于是，等效傳遞函數(shù)為

上式中，取“+”號為負反饋；取“-”號為正反饋。G₁(s)H(s)稱為開環(huán)傳遞函數(shù)，而G(s)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。如果H(s)=1，則稱為單位反饋。

反饋連接的等效框圖如圖1-9b所示。

4.信號引出點的移動

為了對框圖進行簡化，有時需要對信號引出點進行前后移動。引出點的移動必須遵守移動前后引出點所引出的信號保持不變的原則。

若將引出點從某一函數(shù)方框后面移到其前面時，必須在移動的支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框，如圖1-10所示。

若將引出點從某一函數(shù)前面移到其后面時，則必須在移動的支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的函數(shù)方框，如圖1-11所示。

5.信號匯合點的移動

信號匯合點的移動要保證移動前后總的信號不變。具體如下：

相鄰的兩個匯合點可以任意變換位置。如圖1-12所示，移動前后X₄(s)保持不變。

從圖1-13可以看到，匯合點從某一函數(shù)方框之前移至其后時，必須在移動的匯合支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。

從圖1-14可以看到，匯合點從某一函數(shù)方框之后移至其前時，必須在移動的匯合支路中串入具有相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的函數(shù)方框。

三、用變換法則化簡框圖

前面講述了五種框圖的等效變換法則。框圖變換的目的是為了方便地從框圖求得整個自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。下面舉例說明如何用變換法則化簡框圖。

圖1-15a是一個多回路系統(tǒng)，為了求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(S)，進行如下的變換：

1）將包含H₂(s)的負反饋回路的加減點前移到包含正反饋回路外邊，如圖1-15b所示。

2）利用反饋規(guī)則消去包含H₁(s)的正反饋回路，變?yōu)槿鐖D1-15c所示。

3）利用反饋規(guī)則消去包含H₂(s)/G₁(s)的負反饋回路，得到如圖1-15d所示的框圖。

4）利用單位反饋規(guī)則得到該系統(tǒng)的等效框圖1-15e，從而求得該系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

這樣可以看到，圖1-15a所示的多回路系統(tǒng)最后可以簡化成如圖1-15e所示的系統(tǒng)。由于X_o(S)=G(S)X_i(S)，若已知系統(tǒng)的輸入信號x_i(t)，通過拉氏變換和拉氏逆變換可求得輸出的時間表達式x_o(t)。