第二節(jié) 傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上引入的描述線性定常系統(tǒng)或線性元件的輸入輸出關(guān)系的一種最常見(jiàn)的函數(shù)。傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)或線性元件。傳遞函數(shù)全面地反映了線性定常系統(tǒng)或線性元件的內(nèi)在固有特性。

一、傳遞函數(shù)的定義

傳遞函數(shù)，即線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。

設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為

式中，c(t)為系統(tǒng)輸出量，γ(t)為系統(tǒng)輸入量，a₀、a₁、a₂…a_n和b₀、b₁、b₂…b_m均為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)決定的常數(shù)。

設(shè)初始值均為零，對(duì)式（1-5）兩邊進(jìn)行拉氏變換，得

[a₀sn+a₁sn-1+…+a_n-1s+a_n]c(s)=[b₀sm+…+b_m]r(s)

則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為

顯然，這樣求得的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的初始條件為零的微分方程是等價(jià)的。基于這個(gè)概念，可用以s為變量的代數(shù)方程來(lái)表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)分母中s最高階數(shù)為n，則這種系統(tǒng)叫n階系統(tǒng)。

有了傳遞函數(shù)的概念以后，可計(jì)算輸出量的時(shí)間函數(shù)。首先，它把輸入量的時(shí)間函數(shù)r(t)變換成象函數(shù)r(s)，然后再乘以系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)，便得出輸出量的象函數(shù)c(s)，最后再反變換，即是所求的輸出量的時(shí)間函數(shù)c(t)。

前面提到，傳遞函數(shù)是在零值起始條件下定義的。在實(shí)際工作中如果遇到起始條件不為零的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，式（1-6）仍是適用的。因?yàn)樵谘芯恳粋€(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)時(shí)，總是假定該系統(tǒng)原來(lái)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，若不外加擾動(dòng)，系統(tǒng)就不會(huì)發(fā)生任何變化。系統(tǒng)中各個(gè)變量都可用擾動(dòng)前的穩(wěn)態(tài)值作為起點(diǎn)即零點(diǎn)。

二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，通常把除了控制系統(tǒng)對(duì)象之外的其他組成部分，諸如調(diào)節(jié)單元、執(zhí)行機(jī)構(gòu)和測(cè)量單元等統(tǒng)稱為控制儀表。不論控制儀表是機(jī)械式、電動(dòng)式、液壓式還是氣動(dòng)式的，它們都是由一些最基本的環(huán)節(jié)組成。有了對(duì)單個(gè)典型環(huán)節(jié)的了解，就有了對(duì)整個(gè)系統(tǒng)作深入了解的基礎(chǔ)。下面介紹在控制系統(tǒng)中最為常見(jiàn)的典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

1.比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。由運(yùn)算放大器組成的比例放大電路如圖1-1所示。

圖中 。

這樣比例環(huán)節(jié)的輸出量u_o(t)與輸入量u_i(t)之間的關(guān)系為

式中比例系數(shù)。由于輸出電壓和輸入電壓的符號(hào)相反，因此稱為反相放大。

對(duì)式（1-7）兩邊取拉氏變換，得

U_o(s)=K·U_i(s)

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)為

2.積分環(huán)節(jié)

圖1-2所示是采用運(yùn)算放大器實(shí)現(xiàn)的積分環(huán)節(jié)。

根據(jù)運(yùn)算放大器的有關(guān)性質(zhì)，有

在零初始條件下，兩邊取拉氏變換，得

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)為

3.慣性環(huán)節(jié)

圖1-3所示的R-C電路就是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。由圖可知

對(duì)上面兩式分別取拉氏變換，并取零初始條件，可得

則

令T=RC，稱T為時(shí)間常數(shù)。則慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)為

4.微分環(huán)節(jié)

圖1-4示出了用運(yùn)算放大器構(gòu)成的實(shí)際微分電路圖。從圖中可以看到：

因此

令，T=R₁C，這樣實(shí)際微分電路的傳遞函數(shù)G(s)為

若T<<1，則可得理想微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，即

G(s)=KTs

令T_d=KT，T_d稱為微分時(shí)間，則

G(s)=T_ds

可見(jiàn)，實(shí)際微分環(huán)節(jié)是在理想微分環(huán)節(jié)上增加了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)。

5.純延遲環(huán)節(jié)

所謂純延遲，即輸出毫不失真地重現(xiàn)輸入的變化，但有恒定時(shí)間延遲，如圖1-5所示。

因?yàn)榧冄舆t，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入量：c(t)=γ(t-τ₀)

由實(shí)位移性質(zhì)可得

故純延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)G(s)為