1.6.1　一元問題

如果局部導數為零且二階導數為正，則設計點一定在強局部極小值處：

1. f′（x*）=0

2. f″（x*）>0

導數為零使得自變量變化較小時，函數值不會改變。二階導數為正使得一階導數為零的點剛好在碗形函數的底部[1]。

如果一個點的一階導數為零且二階導數是非負的，它也可以是局部極小值點：

1. f′（x*）=0，一階必要條件（FONC）[2]。

2. f″（x*）≥0，二階必要條件（SONC）。

這些條件被稱為必要條件，因為所有局部極小值都遵守這兩個規則。不幸的是，并非所有一階導數和二階導數為零的點都是局部極小值點，如圖1.7所示。

可以使用泰勒展開式[3]得到候選點x*的一階必要條件。

其中漸近符號O（h2）在附錄C中討論。

二階必要條件也可以從泰勒展開式獲得：

我們知道一階必要條件必滿足：

因為h>0。因此f″（x*）≥0的充分條件是x*在局部極小值處。

[1] 如果f′（x）=0并且f″（x）<0，那么x是一個局部極大值點。

[2] 滿足一階必要條件的點有時稱為平穩點。

[3] 泰勒展開式在附錄C中介紹。