1.1 基于最小二乘法的多變量過程辨識研究

盡管最小二乘方法開始用于過程辨識可追溯到20個世紀60年代，盡管過程辨識都以闡述最小二乘辨識理論為主，盡管關于最小二乘辨識理論的研究持續至今已有60多年，但是最小二乘辨識理論在實際工程中依然得不到推廣應用。或許最大的原因是最小二乘辨識需要外加激勵信號。已有研究表明，用最小二乘法辨識的充分必要條件是有2n階持續激勵。2n階持續激勵條件的保證是從外部施加白噪聲或PRBS激勵信號。可以發現，在眾多的最小二乘辨識理論研究文獻中，幾乎給出的都是施加過白噪聲或PRBS信號的算例。換句話說，不施加白噪聲或PRBS信號，最小二乘辨識的可辨識性和準確性就得不到保證。而在實際控制工程應用中，沒有現場工程師愿意外加激勵信號而承擔危及生產安全的風險。何況施加激勵信號不但需要額外提供的硬件和軟件，還需要專門技術人員的支持。顯然，施加激勵信號是推廣應用最小二乘辨識理論的一大障礙。相對智能優化法辨識而言，不強求施加激勵信號，也自然沒有了這種推廣應用障礙。

最小二乘辨識基本理論是建立在于開環辨識條件下的，并且所考慮的噪聲變量是與輸入變量不相關的。所以若要推廣應用到實際的常見的閉環控制過程中就會出現了噪聲變量與輸入變量相關的問題，嚴格地說閉環反饋條件不滿足最小二乘辨識基本理論建立的前提。于是最小二乘辨識理論的閉環條件下的應用就成了又一個應用障礙。雖然已提出多個解決方案，但是都比開環辨識的方案更復雜，所以依然繞不開這一大應用障礙。既然對于單變量過程辨識有閉環辨識障礙，那么對于多變量過程辨識，這一應用障礙就變得更大了。其實已有研究表明[30]，閉環反饋條件只是應用最小二乘辨識的障礙，若用其他辨識方法并非如此。例如采用智能優化法辨識，理論上沒有閉環反饋條件的限制，無論是單變量過程辨識還是多變量過程辨識，用智能優化法辨識，無論開環條件還是閉環條件都是一樣的。

當被辨識過程的模型參數數量增加時，最小二乘辨識計算量隨之大幅增加，尤其是矩陣求逆計算部分。另一方面，考慮到在線辨識和控制的需求，遞推最小二乘法早已推出，并被許多學者認為是取代一次完成最小二乘算法的好算法。然而從工程應用的簡單實用性和安全可靠性角度考慮，遞推最小二乘法并不值得推薦，因為它把本可一次完成的計算化為一個收斂性不能確保的多次計算的復雜過程，顯然不符合工程應用關于可靠和安全的基本要求。對于單變量過程辨識應用不推薦遞推最小二乘法，對于多變量過程辨識應用更是如此。

許多研究者都認定一條研究思路，那就是把多變量過程辨識問題化解為單變量過程辨識問題。北京化工大學的潘立登早在20世紀90年代初就做過有價值的探索。一個r入m出的多變量過程模型，可以化簡為m個r入1出的子模型，因此，一個r入m出的多變量過程模型辨識可以化簡為m個r入1出的子模型辨識，這是毫無疑問的。可以證明，只要解決了多入一出的多變量過程子模型辨識問題，就可以解決多入多出的多變量過程辨識問題，不過這還是一個多變量過程辨識問題。若再把一個r入1出的子模型化解為r個單入單出的子子模型，那就可把多變量過程辨識問題化解為單變量過程辨識問題了。關鍵是子模型如何化簡為子子模型，已給出的方法是用輔助模型法。據參考文獻[46，47]，當子模型用多變量過程辨識方法辨出后，可用子模型為輔助模型推出每個子子模型的輸出變量序列，再利用子子模型的輸入輸出數據辨識出子子模型的參數。如此看來，這并沒有真正地實現把多變量過程辨識問題化簡為單變量過程辨識問題，而是先用多變量過程辨識方法辨識子模型，再用單變量過程辨識方法辨識子子模型。但這樣的方法實質上沒有多少積極的意義，反而使問題復雜化了，并且沒有確切的證明來保證用子模型為輔助模型推出每個子子模型的輸出變量的方法是準確可靠的，這種多了一次的辨識計算顯然只會降低辨識精度。

可以證明，白噪聲或PRBS信號是最優的辨識激勵信號。這也就是眾多研究者喜歡用白噪聲或PRBS信號做辨識激勵信號的原因之一。對于單變量過程辨識，可選用白噪聲或PRBS信號來激勵；對于多變量過程辨識，也可選用白噪聲或PRBS信號來激勵。對于多變量過程辨識時如何選用白噪聲或PRBS信號來進行多個輸入的同時激勵，在經典過程辨識教科書中還找不到可遵循的原則。但是在許多文獻中，都提出多變量過程辨識時多個輸入的同時激勵信號必須是互不線性相關的，否則辨識結果是不準確的。尤其是參考文獻[28]還給出了同時階躍激勵下一個雙入雙出系統的辨識實例及辨識誤差原因剖析。關于多變量過程辨識，本來就有依次激勵接著依次辨識計算和同時激勵接著一次辨識計算的兩種辨識方案。依次激勵接著依次辨識計算方案的本質是把多變量過程辨識化為單變量過程辨識的方案，遺憾的是實際工程應用中很難做到使一個輸入改變時其他輸入保持不變。同時激勵接著一次辨識計算的辨識方案是更實用的方案，執行這個方案時采用多個輸入的同時激勵信號必須是互不線性相關的原則。關于這一原則，在參考文獻[12]有闡述，但是還沒有寫進教科書中。參考文獻[59，60]給出了用延遲PRBS構造互不線性相關的多個激勵信號的方法。用此法可產生多變量過程辨識所需要的同時激勵但互不線性相關的多個輸入激勵信號。

關于過程辨識的可辨識性的學術討論至今很難有像可控性和可觀性那樣有明確的定義和明確的結論，也沒有像可控性和可觀性那樣，求解一個可控性矩陣或可觀性矩陣就可確定這個特性是否成立。按照學者Bellman和Astrom的說法，可辨識性和最小二乘估計的一致性差不多，若數據長度N→∞，模型參數估計值趨于真值θ，則模型參數θ就是可辨識的。問題是真實世界模型的真值θ永遠也得不到，所謂的數據長度N→∞也是一種永遠無法實現的假設。這樣一來，在判別某過程是否具有可辨識性時，是無法根據參數估計的一致性定義來判斷其可辨識性的。

學者Ljung給出一個更抽象的可辨識性概念定義[1]：可辨識性概念可定義為三個層次，即可辨識的、強可辨識的和參數可辨識的。

1.可辨識定義

若采用辨識方法I依據足夠多的數據L（L為數據長度）在實驗條件X下得到模型參數估計，從而得到與系統S等價的模型DT（S，M），即

則稱系統S在模型類M、辨識方法I及實驗條件X下是可辨識的，記作SI（M，I，X）。

2.強可辨識定義

若系統S對一切使DT（S，M）非空的模型都是SI（M，I，X）的，那么稱系統是強可辨識的，記作SSI（I，X）。

3.參數可辨識定義

若系統S是SI（M，I，X）的，且DT（S，M）僅含一個元素，則稱系統是參數可辨識的，記作PI（M，I，X）。

顯然，這個定義沒有工程實用性，人們無法利用這個定義判別執行某過程辨識時是否具有可辨識性。不過，這個定義卻揭示了進行可辨識性時應該考慮的幾個要素，即數據、模型類、辨識方法（準則與優化）和實驗條件（激勵）。若用參考文獻[30]的說法就是，進行可辨識性時應該考慮的六個要素為數據、過程、模型、準則、優化和激勵。按照這個思路，不妨再次做一個大膽的定性分析：就數據要素而言，數據應當包含過程的基本特性響應特征信息，否則不具備可辨識性；就過程而言，應當是所選用辨識方法適用的過程類型，例如適用于最小二乘法辨識的穩定過程；就模型要素而言，所選模型結構應當與過程相匹配，否則不具備可辨識性；就優化要素而言，所選優化方法應當是那種在已有條件下完成辨識計算并達到所期待的辨識準確度的方法，否則不具備可辨識性；就準則而言，所設計的準則應當能表征模型響應和過程響應之間的誤差大小，否則不具備可辨識性；就激勵要素而言，激勵信號應當能激發出過程的基本特征響應，否則不具備可辨識性。在選擇最小二乘法辨識方法的前提下，已有了不少有關可辨識性的研究成果[3]：穩定的過程具有可辨識性；對于n階傳遞函數的辨識，在2n階持續激勵條件下才具有可辨識性；數據長度N≥2n才具有可辨識性；在閉環過程辨識時，控制器的階數必須足夠高。以上研究結果都是針對單變量過程辨識而言的，對于多變量過程辨識還未見有價值的有關可辨識性的研究成果。

縱觀最小二乘法辨識方法前提下的有關可辨識性的研究，使作者領悟出一條更有可操作性的新研究思路，即把最小二乘法過程辨識的可辨識性當作過程辨識模型的最小二乘解的存在性來對待，這樣做可使問題大為簡化。最小二乘法過程辨識的可辨識性存在與否等價為相對應的最小二乘解的存在與否，而最小二乘解的存在與否取決于最小二乘算式中的逆矩陣存在是否。進而，最小二乘算式中的逆矩陣存在是否取決于這個逆矩陣的兩方面的數據構成，即過程響應數據和過程激勵數據。此外，最小二乘解的存在可以抽象為純線性代數學的問題，或者說是一個多元代數方程聯立求解的問題。當模型結構選定以后，求解模型參數就是辨識計算的任務。求解模型參數的最小二乘方程的維度就取決于模型參數變量的個數。而數據長度N首先要滿足最小二乘方程的維度的要求。例如，針對單變量過程辨識的可辨識性，已得到數據長度N≥2n的研究結果。至于多變量過程辨識的可辨識性與數據長度N的關系還有待研究。針對單變量過程辨識的可辨識性，根據研究最小二乘算式中的逆矩陣中過程激勵數據確保逆矩陣存在的條件，前輩已得出結論：2n階持續激勵條件下才具有可辨識性。至于多變量過程辨識的可辨識性與過程激勵數據的關系，尚未見有公認的理論研究成果。