1.2 基于子空間法的多變量過程辨識研究

關于基于子空間法的過程辨識研究的歷史發展，許多文獻都有闡述。不妨按照時間的歷史發展順序簡單歸納如下。

1978年，Kung提出了子空間辨識方法[61]。1985年，Juang和Pappa將子空間辨識方法用于結構模型參數辨識[62]。1989年，Moonen等人[63]和1990年Arun等人[64]，對確定性系統和存在擾動的系統通過構建輸入輸出的Hankel矩陣計算狀態空間模型。1990年，Larimore提出范量分析子空間辨識（Canonical Variate Analy-sis，CVA）法[65]；1994年，Verhaegen提出多變量輸出誤差狀態空間子空間辨識（Multivariable Output Error State Spac，MOESP）法[66]；同年，Van Overschee和De Moor提出了數值狀態空間子空間辨識（Numerical Subspace State-Space System Identificati，N4SID）法[67]，這三種算法在子空間辨識算法中起到了基石的作用。CVA方法的基本思路是利用過去的狀態去估計未來的狀態，通過極小化所給定的范數指標來構造相應的辨識算法。Verhaege等人提出的MOESP子空間辨識算法是利用已測得的輸入輸出數據來構造出特定的漢克爾（Hankel）矩陣，然后通過QR分解進行數據壓縮，給出系統的廣義可觀性矩陣的一致估計，最后利用廣義可觀測矩陣求解系統的狀態空間模型。Van Overschee和De Moor的N4 SID法是使用線性回歸法求解系統矩陣，基于幾何概念的方法實現了預測誤差極小化，它是一種具有秩約束的多步預報誤差法。雖然這三種算法在計算系統矩陣方面各有不相同，但是，WouterFavoreel等認為這三種方法是分別取不同權矩陣的結果，可以在一定框架下得到統一[68]。在子空間辨識的研究發展中，已出現三本經典著作：1996年VanOverschee和De Moor[69]出版的Subspace Identification of Linear Systems，2005年Tohru Katayama出版的Subspace Methods for System Identification[70]，2008年Biao Huang[71]出版的Dynamic Modeling，Predictive Control and Perfomance—A Data-driv-en Subspace Approach。在這些理論研究成果上，2002年Wang和Qin提出了基于主元分析方法的子空間辨識[72]；2005年Huang等人提出了基于正交投影的子空間辨識方法[73]；Gustafsson[74]、Jansson[75]、Ljung[76]、Bauer[77]等人在子空間辨識算法的收斂性、有效性等方面進行了研究。

子空間辨識方法是基于狀態方程模型的，而狀態方程模型恰好是最適于表達多變量過程的模型。所以，子空間辨識方法自然是既適用于單變量過程辨識又適用于多變量過程辨識。

子空間辨識方法是針對開環過程辨識提出的，所以和最小二乘辨識方法一樣，只適用于輸入與噪聲不相關的過程辨識。因此，針對閉環過程辨識的子空間辨識方法就成了一個很大的研究熱點。盡管已有不少方法被提出，例如套用最小二乘辨識理論研究思路，采用化閉環為開環的兩階段法，但是都使問題復雜化了，對于多變量過程辨識，計算量激增，幾乎沒有工程實用性。

子空間辨識方法（Subspace Identification Method，SIM）是一種基于狀態空間方程模型的多變量系統的辨識新方法。SIM方法綜合了系統理論、線性代數和統計學三方面的思想。與傳統辨識方法相比，SIM的突出優勢在于：①不需要像最小二乘辨識時將模型參數整理成辨識參數的參數化過程，可直接由輸入輸出數據來構造增廣可觀測矩陣，再經過一系列矩陣運算得到狀態空間模型；②沒有迭代尋優求解過程，所以也無需考慮所謂的收斂性和穩定性問題；③不需要考慮狀態初始條件，所以沒有其他辨識方法必須考慮的零初始條件問題；④不需要系統的先驗知識，而且系統模型階次能夠在系統辨識計算中由可觀測矩陣的非零奇異值來決定，換句話說，用SIM可同時辨識模型結構和參數。

與傳統辨識方法相比，SIM也有它的劣勢：①和最小二乘辨識一樣，是一種開環辨識方法；②是一種有偏辨識的次優方法；③不需要系統的先驗知識，意味著即便有可用的系統先驗信息也很難利用；④因為SIM包含正交三角（QR）分解和奇異值（SVD）分解，所以有大量的數值運算，特別是在多變量辨識、用高維模型和實施在線辨識時，計算負擔將成為必須考慮的問題。

子空間辨識方法的理論研究進展也促進了子空間辨識方法的工程應用研究。在20世紀90年代中期，美國國家航空航天研究中心，美國麻省理工學院與埃默里大學等，合作開展了飛機發動機結構的子空間辨識，通過對F18系統柔性動力特性的辨識研究，尋求最優的控制規律，設計最優的控制器。德國宇航局也通過引入子空間辨識方法對發動機性能進行了研究。比利時魯汶大學的Moor，瑞典林克平大學的Mckelevey，瑞典皇家工學院的Jasson，查爾姆斯理工大學的Gustafsson等都在這一領域做了大量的相關研究。

在國內，子空間辨識方法的工程應用研究也取得了一些進展。可以歸納為兩方面的工程應用，一方面是專用于預測控制的子空間辨識應用研究；另一方面是針對閉環多變量工業過程控制的子空間辨識應用研究。

預測控制技術已在大型復雜工業過程控制領域得到較廣泛的應用，但是預測控制的成功實施依賴于過程模型的較準確的建立。子空間辨識方法的優良特性正好有望解決多變量過程預測控制所需要的建模問題。用子空間方法不需要任何模型結構與系統階次等先驗知識，可以直接利用一段滾動時間窗口的實測過程輸入輸出數據構造Hankel矩陣，然后通過QR分解等矩陣運算得到過程狀態方程模型，根據已得模型就即推算出預測控制器。更超前的思路是建模和控制器設計的兩步并作一步，直接得到預測控制器，為此已有多個研究進展。2007年，楊華[92]進行了基于子空間方法的系統辨識及預測控制設計的研究。2008年，李經吳[94]對子空間預測控制及其在CFB鍋爐燃燒系統進行了研究，以子空間辨識為基礎，推出了子空間預測控制的概念及其基本算法，提出了具有比例結構的子空間預測控制算法。2009年，曾九孫[93]研究了子空間辨識方法用于高爐冶煉過程多變量預測控制系統的問題。2011年，吳永玲[84]提出了一種具有反饋校正的時變遺忘因子的子空間辨識方法，根據測量輸出與預測輸出值的誤差來動態調整歷史數據的權重，可以更好地反映系統的當前特性，提高了辨識的精度和靈敏度。2019年，斛亞旭[91]進行了基于子空間辨識的SNCR脫硝系統的多模型預測控制研究。2019年，葛連明[90]進行了子空間辨識算法及預測控制研究。

針對閉環多變量工業過程控制的子空間辨識應用研究也有一些進展。2008年，劉浩[83]在二入三出的直流鍋爐控制系統上嘗試應用了子空間辨識方法。用AIC準則確定模型階數，通過仿真實驗證實子空間辨識方法有效。不過，辨識出的模型是有差的，并且是零點的誤差大于極點的誤差。2012年黃宇[86]在二入二出的機爐協調控制系統上試用了子空間辨識方法，再一次證實了子空間辨識方法是次優的有差方法，并且辨識精度沒有量子粒子群（QPSO）辨識方法高，還提出可以先用子空間辨識方法辨識出過程粗模型再用量子粒子群辨識方法進行精確辨識的兩階段辨識方案。2013年，楊春[87]在三入三出的回轉窯窯溫控制系統上試用了基于主成分分析的子空間辨識方法，也是用AIC準則確定模型階數。通過仿真試驗證明，基于主成分分析的子空間辨識方法比經典的子空間辨識方法有明顯的優勢。2017年，包春喜[84]在二入二出的機爐協調控制系統上試用了引入輔助變量和主元分析的子空間辨識方法，仿真試驗證明方法有效，但用現場數據建模的效果并不理想。2018年，莊旭[89]在抽水蓄能電機控制系統上用了相關函數子子空間辨識方法，采用相關函數方法進行子空間辨識算法的改進，可以實現閉環條件下對線性系統的無偏估計，建立基于擴展卡爾曼濾波器抽水蓄能電機模型，構建模型協同工作循環辨識算法，并采用分塊Hankel矩陣的子空間辨識算法，實現系統參數矩陣的有效辨識。

雖然子空間辨識方法得到很多的關注，子空間辨識方法理論證明正確，仿真實驗證實有效，但是子空間辨識方法成功應用于實際工業過程的案例幾乎沒有，這一點和最小二乘辨識方法的應用效果很相似。由于子空間辨識方法并不是按照最優化方法導出的，所得辨識結果就無法證明是最優解，這或許是人們推廣應用子空間辨識方法的興趣不高的原因之一。