2.2　模型建立

考慮公司投資一個項目，其收益流可觀測但不可交易，公司收益流δ服從如下算術布朗運動：

其中，μ和σ是常數，分別表示公司收益流的增長率和波動率，Z是定義在賦有信息流（F_t）_t≥0的概率空間（Ω，F，P）上的標準布朗運動。

假設公司資本結構是由股權、普通債券和或有可轉換債券構成，公司發行面值為L₁且票面利率為u₁的永久性債券(1)，即每年連續支付直至公司破產，則普通債券的息票支付b₁≡u₁L₁，并且或有可轉換債券也是永久性的，面值為L₂且票面利率為u₂，連續每年支付直到債權轉換為股權。其中或有可轉換債券的轉換觸發水平是外生給定的，并且考慮債權人有保護條款的情形，即破產條件是事先約定的。

我們假設公司是高度集中的所有權結構，投資者都是風險厭惡的，且都不能完全分散非系統風險。投資者只可以通過無風險投資（如銀行儲蓄）進行平滑消費。

記W=（W_t）_t≥0是定義在賦有信息流（F_t）_t≥0的投資者的財富過程；記C=（C_t）_t≥0是定義在賦有信息流（F_t）_t≥0的投資者的消費過程，并且對任意的t≥0，消費過程滿足<∞，其中，C_s表示投資者在任意時間s的消費數量。

假設市場上的投資者是風險厭惡的，但普通債券持有人能完全分散非系統風險，并且投資者具有如下CARA效用函數：(2)

其中，γ表示絕對風險厭惡系數。

若公司實行單純股權融資，則無杠桿（純股權）公司的消費效用無差別價值A（隱含價值或主觀價值）可以由Miao and Wang（2007）[7]的一個結果直接得出，即有：

其中，x代表公司收益流的當前值，即δ₀=x。式（2.3）表明，隨著公司收益流波動率σ或絕對風險厭惡系數γ的增大，無杠桿公司價值就會降低，即公司的消費效用無差別價值A是經過風險調整后的價值。特別地，當γ=0時，A₀（x）=＋，為風險中性條件下(3)無杠桿公司價值。

假設當無杠桿公司隱含價值A首次低于事先規定的觸發水平πL₁，0<π≤1時，公司宣布破產，為簡化模型，按照Duffie（2001）第十一章的假設，在違約時刻，普通債券持有人獲得公司未來所有收益流[101]。公司違約時刻為τ₁且滿足等式：

或等價于：

其中，表示破產觸發點，正如式（2.5）所示，破產觸發水平關于普通債券的面值L₁、違約保護水平π、公司收益流波動率σ以及絕對風險厭惡系數γ是遞增的，但關于公司收益流平均增長率μ是遞減的。

而當公司資不抵債時，或有可轉換債券將會轉換為股權，轉換規則將在下面一節研究或有可轉換債券消費效用無差別定價時給出。

在以下的章節中，我們將會討論公司證券（或有可轉換債券、股權和普通債券）的定價以及最優資本結構問題，那就是取多大的息票支付b₁和b₂才會使得公司總價值最大。由于市場是不完備的且投資者是風險厭惡的，我們將用消費效用無差別定價來求解問題，我們將公司總價值，即股權、或有可轉換債券、普通債券的消費效用無差別價格之和，作為目標函數，在外生給定的轉換條件和破產條件下，求出相應的息票支付b₁和b₂來最大化目標函數。