2.2　模型建立

考慮公司投資一個(gè)項(xiàng)目，其收益流可觀測(cè)但不可交易，公司收益流δ服從如下算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)：

其中，μ和σ是常數(shù)，分別表示公司收益流的增長(zhǎng)率和波動(dòng)率，Z是定義在賦有信息流（F_t）_t≥0的概率空間（Ω，F，P）上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

假設(shè)公司資本結(jié)構(gòu)是由股權(quán)、普通債券和或有可轉(zhuǎn)換債券構(gòu)成，公司發(fā)行面值為L₁且票面利率為u₁的永久性債券(1)，即每年連續(xù)支付直至公司破產(chǎn)，則普通債券的息票支付b₁≡u₁L₁，并且或有可轉(zhuǎn)換債券也是永久性的，面值為L₂且票面利率為u₂，連續(xù)每年支付直到債權(quán)轉(zhuǎn)換為股權(quán)。其中或有可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換觸發(fā)水平是外生給定的，并且考慮債權(quán)人有保護(hù)條款的情形，即破產(chǎn)條件是事先約定的。

我們假設(shè)公司是高度集中的所有權(quán)結(jié)構(gòu)，投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，且都不能完全分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。投資者只可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資（如銀行儲(chǔ)蓄）進(jìn)行平滑消費(fèi)。

記W=（W_t）_t≥0是定義在賦有信息流（F_t）_t≥0的投資者的財(cái)富過(guò)程；記C=（C_t）_t≥0是定義在賦有信息流（F_t）_t≥0的投資者的消費(fèi)過(guò)程，并且對(duì)任意的t≥0，消費(fèi)過(guò)程滿足<∞，其中，C_s表示投資者在任意時(shí)間s的消費(fèi)數(shù)量。

假設(shè)市場(chǎng)上的投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，但普通債券持有人能完全分散非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，并且投資者具有如下CARA效用函數(shù)：(2)

其中，γ表示絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。

若公司實(shí)行單純股權(quán)融資，則無(wú)杠桿（純股權(quán)）公司的消費(fèi)效用無(wú)差別價(jià)值A（隱含價(jià)值或主觀價(jià)值）可以由Miao and Wang（2007）[7]的一個(gè)結(jié)果直接得出，即有：

其中，x代表公司收益流的當(dāng)前值，即δ₀=x。式（2.3）表明，隨著公司收益流波動(dòng)率σ或絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ的增大，無(wú)杠桿公司價(jià)值就會(huì)降低，即公司的消費(fèi)效用無(wú)差別價(jià)值A是經(jīng)過(guò)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的價(jià)值。特別地，當(dāng)γ=0時(shí)，A₀（x）=＋，為風(fēng)險(xiǎn)中性條件下(3)無(wú)杠桿公司價(jià)值。

假設(shè)當(dāng)無(wú)杠桿公司隱含價(jià)值A首次低于事先規(guī)定的觸發(fā)水平πL₁，0<π≤1時(shí)，公司宣布破產(chǎn)，為簡(jiǎn)化模型，按照Duffie（2001）第十一章的假設(shè)，在違約時(shí)刻，普通債券持有人獲得公司未來(lái)所有收益流[101]。公司違約時(shí)刻為τ₁且滿足等式：

或等價(jià)于：

其中，表示破產(chǎn)觸發(fā)點(diǎn)，正如式（2.5）所示，破產(chǎn)觸發(fā)水平關(guān)于普通債券的面值L₁、違約保護(hù)水平π、公司收益流波動(dòng)率σ以及絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ是遞增的，但關(guān)于公司收益流平均增長(zhǎng)率μ是遞減的。

而當(dāng)公司資不抵債時(shí)，或有可轉(zhuǎn)換債券將會(huì)轉(zhuǎn)換為股權(quán)，轉(zhuǎn)換規(guī)則將在下面一節(jié)研究或有可轉(zhuǎn)換債券消費(fèi)效用無(wú)差別定價(jià)時(shí)給出。

在以下的章節(jié)中，我們將會(huì)討論公司證券（或有可轉(zhuǎn)換債券、股權(quán)和普通債券）的定價(jià)以及最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問(wèn)題，那就是取多大的息票支付b₁和b₂才會(huì)使得公司總價(jià)值最大。由于市場(chǎng)是不完備的且投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，我們將用消費(fèi)效用無(wú)差別定價(jià)來(lái)求解問(wèn)題，我們將公司總價(jià)值，即股權(quán)、或有可轉(zhuǎn)換債券、普通債券的消費(fèi)效用無(wú)差別價(jià)格之和，作為目標(biāo)函數(shù)，在外生給定的轉(zhuǎn)換條件和破產(chǎn)條件下，求出相應(yīng)的息票支付b₁和b₂來(lái)最大化目標(biāo)函數(shù)。