7.1.2 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

由于級(jí)數(shù)的斂散性取決于級(jí)數(shù)相應(yīng)的部分和數(shù)列{sn}的極限是否存在，因此利用極限的有關(guān)性質(zhì)，可得到收斂級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì).

1．收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)7.1 若級(jí)數(shù)收斂于和s，則級(jí)數(shù)也收斂，其和為ks（k為常數(shù)）.即級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)常數(shù)后，它的收斂性不變.

證明 設(shè)級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的部分和分別為sn與σn，則

σn=ku1＋ku2＋…＋kun=ksn，

故

所以，級(jí)數(shù)收斂，其和為ks.

推論 如果級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)k≠0時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散.

性質(zhì)7.2 如果級(jí)數(shù), 也收斂，且其和分別收斂于和s, σ，則級(jí)數(shù)為s±σ，即兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或相減，其收斂性不變.

證明 設(shè)級(jí)數(shù),, 的部分和分別為sn, σn, δn，則

故

所以，級(jí)數(shù)收斂，其和為s±σ.

例7.5 判別級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，求其和.

解 由幾何級(jí)數(shù)得

所以級(jí)數(shù)收斂，其和為

推論 如果級(jí)數(shù)收斂， 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 發(fā)散.

此推論利用反證法即可證得.

【即時(shí)提問(wèn)7.1】 兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加所得的級(jí)數(shù)一定發(fā)散嗎？

性質(zhì)7.3 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.

證明 我們只需要證明“在級(jí)數(shù)的前面部分去掉或加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性”.因?yàn)槠渌樾危丛诩?jí)數(shù)中任意去掉、加上或改變有限項(xiàng)的情形）都可以看成在級(jí)數(shù)的前面部分先去掉有限項(xiàng)，然后再加上有限項(xiàng)的結(jié)果.

設(shè)將級(jí)數(shù)

u1＋u2＋…＋uk＋uk＋1＋…＋uk＋n＋…

的前k項(xiàng)去掉，則得級(jí)數(shù)

uk＋1＋uk＋2…＋uk＋n＋…，

于是新得的級(jí)數(shù)的部分和為

σn=uk＋1＋uk＋2…＋uk＋n=sk＋n－sk，

其中sk＋n是原來(lái)級(jí)數(shù)前k＋n項(xiàng)的和.因?yàn)?span id="ysd7j99" class="italic">sk是常數(shù)，所以當(dāng)n→∞時(shí)，σn與sk＋n或者同時(shí)具有極限，或者同時(shí)沒(méi)有極限.

類(lèi)似地，可以證明在級(jí)數(shù)的前面加上有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.

性質(zhì)7.4 如果級(jí)數(shù)收斂，則在不改變其各項(xiàng)次序的情況下，對(duì)該級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意添加括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.

證明 設(shè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為sn，和為s，在不改變其各項(xiàng)次序的情況下，任意添加括號(hào)后所得級(jí)數(shù)為

記級(jí)數(shù)式（7.5）的前k項(xiàng)部分和為σk，則

因此級(jí)數(shù)式（7.5）的部分和數(shù)列{σn}為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{sn}的一個(gè)子數(shù)列，從而有

所以級(jí)數(shù)式（7.5）收斂于s.

推論 如果加括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.

注 收斂級(jí)數(shù)去掉括號(hào)后可能發(fā)散，發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后可能收斂.例如級(jí)數(shù)（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋…＋（1－1）＋…

是收斂的，但去掉括號(hào)后得到的級(jí)數(shù)1－1＋1－1＋1－1＋…＋1－1＋…是發(fā)散的.

由于無(wú)窮級(jí)數(shù)涉及到無(wú)窮多項(xiàng)求和的問(wèn)題，因此，根據(jù)以上性質(zhì)只有收斂的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和時(shí)可以添加括號(hào)，提取公因子以及把級(jí)數(shù)從等號(hào)的一端移到另一端，對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù)是不能夠進(jìn)行的.

2．級(jí)數(shù)收斂的必要條件

定理7.1 如果級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)un趨于零，即.

證明 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為sn，其和為s，有un=sn－sn－1，則

注 定理7.1中是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，但非充分條件.如果級(jí)數(shù)收斂，則；若，級(jí)數(shù) 可能發(fā)散，如調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的，然而；但若，則級(jí)數(shù) 一定發(fā)散.因此，判別級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，首先考察級(jí)數(shù)是否滿足，如果這個(gè)條件不滿足，則級(jí)數(shù)發(fā)散；如果這個(gè)條件滿足，再用其他方法判定其斂散性.

例7.6 判別級(jí)數(shù)的斂散性.

解 由于，因此級(jí)數(shù)發(fā)散.

例7.7 患有某種疾病的病人經(jīng)常要服用一種特定藥物.該藥物在體內(nèi)的清除速率正比于體內(nèi)的藥量.一天（24h）大約有10%的藥物被清除.假設(shè)每天給某病人0.05mg的維持劑量，試估算病人如此長(zhǎng)期服用該藥物，體內(nèi)的藥物總量是多少？

解 給病人0.05mg的初始劑量.一天后，0.05mg藥物的10%被清除，體內(nèi)將殘留（0.90） （0.05）mg的藥量；在第二天末，體內(nèi)將殘留（0.90）（0.90）（0.05）mg的藥量；如此下去，第n天末，體內(nèi)殘留的藥量為（0.90）n（0.05）mg.

要確定藥物在體內(nèi)的累積殘留量.我們注意到，在第二次給藥時(shí)，體內(nèi)的藥量為第二次的劑量0.05mg加上第一次給藥此時(shí)在體內(nèi)的殘留量（0.90）（0.05）mg；在第三次給藥時(shí)，體內(nèi)的藥量為第三次給藥的劑量0.05mg加上第一次給藥此時(shí)在體內(nèi)的殘留量（0.90）2（0.05）mg和第二次給藥此時(shí)在體內(nèi)的殘留量（0.90）（0.05）mg；在任何一次重新給藥時(shí)，體內(nèi)的藥量為此次給藥的劑量0.05mg加上以前歷次給藥此時(shí)在體內(nèi)的殘留量.

每一次重新給藥時(shí)體內(nèi)的藥量是下列幾何級(jí)數(shù)的部分和

0.05＋（0.90）（0.05）＋（0.90）2（0.05）＋（0.90）3（0.05）＋….

這個(gè)級(jí)數(shù)的和為．因此病人長(zhǎng)期每天服用0.05mg的藥物，他體內(nèi)的藥物含量將達(dá)到0.5mg.