7.1 常數項級數的概念與性質

7.1.1 常數項級數的基本概念

1．常數項級數的定義

我們先來看兩個具體問題.

例如，《莊子·天下篇》中提到“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，也就是說一根長為一尺的木棒，每天截去剩下的一半，這樣的過程可以無限制地進行下去.如果把每天截下的那一部分的長度“加”起來，就是

這就是一個“無窮多個數求和”的例子.不難理解，前n天截下來的長度的總和

隨著天數n的不斷增大，不斷地接近于棒長1．用我們學過的極限知識來處理，可以確定，

也就是說這個“無窮多個數求和”的結果是1.

再如

1＋2＋3＋…＋n＋…，

這也是一個“無窮多個數求和”的例子，記

sn=1＋2＋3＋…＋n.

容易得到，隨著 n的無限增大，sn也在無限增大.用我們學過的極限知識來理解，可得到，即這個“無窮多個數求和”的結果是＋∞，因而這個“無窮多個數求和”的結果不存在.

從上面的兩個例子可以得到這樣的啟示：一方面“無窮多個數求和”的結果可能存在，也可能不存在；另一方面，我們可以利用極限來處理“無窮多個數求和”的問題.因此，“無窮多個數求和”不能簡單地沿用有限個數相加的概念，而必須建立它自身的概念.

如果給定一個數列u1,u2,u3,…,un,…，則表達式

u1＋u2＋u3＋…＋un＋…

叫作（常數項）無窮級數，簡稱（常數項）級數，記作, 即

其中u1,u2,u3,…,un,…叫作級數的項，u1叫作級數的首項，級數的第n項un叫作級數的通項或一般項.

無窮級數的定義只是形式上表達了無窮多個數相加的“和”，怎樣理解這個“和”呢？聯系前面的“截杖問題”，我們可以從有限項的和出發，觀察它們的變化趨勢，由此來理解無窮多個數相加的“和”的含義.

2．常數項級數的斂散性

級數的前n項和叫作級數的部分和，記為sn，即

當n依次取1,2,3,…時，它們構成一個新的數列

s1=u1, s2=u1＋u2, s3=u1＋u2＋u3, …，

sn=u1＋u2＋u3＋…＋un, …，

稱為部分和數列，記為{sn}.

根據這個數列有沒有極限，我們引進級數式（7.1）的收斂與發散的概念.

定義7.1 若級數 的部分和數列{sn}收斂于s，即，則稱級數 收斂，其和為s，也稱級數收斂于s，記為.

若級數的部分和數列{sn}極限不存在，則稱級數發散.

級數和s與部分和sn的差稱為級數的余項，記為rn，即

rn=s－sn=un＋1＋un＋2＋….

用部分和sn替代級數和s所產生的誤差就是這個余項rn的絕對值，即誤差是|rn|.

由級數定義可知，研究級數的斂散性就是研究其部分和數列是否有極限，因此，級數的斂散性問題是一種特殊的數列極限問題.

例7.1 判定級數的斂散性.

解 因為，所以該級數的前n項部分和

，而，由定義知該級數收斂，其和為1.

例7.2 無窮級數

叫作幾何級數（又稱為等比級數）.其中，首項a≠0, q稱為級數的公比，試討論幾何級數的斂散性.

解 如果公比q≠1，那么部分和

（1）當|q|＜1時，因為，所以，從而該級數收斂，其和為.

（2）當|q|＞1時，因為，所以，從而該級數發散.

（3）當|q|=1時，分為如下兩種情況.

①若q=1，則sn=na→∞（n→∞），該級數發散.

②若q=－1，則部分和

因此不存在，故該級數發散.

綜上所述，當|q|＜1時，幾何級數式（7.3）收斂且和為；當|q|≥1時，幾何級數式（7.3）發散.

例7.3 證明調和級數

發散.

證明 方法1 由不等式ln（1＋x）＜x（x＞0）得，調和級數式（7.4）的部分和

即sn＞ln（1＋n），則不存在，故調和級數發散.

方法2 用反證法證明.

假設調和級數收斂，記其部分和為sn，并設，于是.

一方面n=s－s=0；另一方面

由極限的保號性知，，矛盾，故調和級數發散.

例7.4 甲、乙兩個人進行比賽，每局比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1），乙獲勝的概率為q（p＋q=1），如果一個選手連贏兩局，那么該選手就成為整個比賽的勝者，比賽終止；否則，比賽繼續進行.分析甲獲得整場比賽勝利的所有可能進程，并求甲最后成為勝利者的概率.

解 首先考慮甲獲得整個比賽勝利的所有可能進程：

甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲甲、甲乙甲乙甲乙甲甲……

或者

乙甲甲、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙甲甲……

那么，甲最后成為勝利者的概率為下列級數的和

（pp＋pqpp＋pqpqpp＋…）＋（qpp＋qpqpp＋qpqpqpp＋…）.

這是兩個正項等比級數的和，這兩個正項級數都是公比為pq的等比級數，由于pq＜1，因此它們的和為，甲最后成為勝利者的概率為.