7.3.2 冪級數及其收斂性

1．冪級數的概念

定義7.5 函數項級數

稱為x－x0的冪級數，記作.其中a0,a1,a2,…,an,…為常數，稱為冪級數的系數.

特別地，當x0=0時，式（7.12）變為

a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＋…，

稱為x的冪級數，記作, 即

對于形如式（7.12）的冪級數，如果做變換t=x－x0，就轉換為形如式（7.13）的冪級數.所以，我們重點討論形如式（7.13）的冪級數.

2．冪級數的收斂性

對于一個給定的冪級數，它的收斂域與發散域是怎樣的呢？即x取數軸上哪些點時冪級數收斂，取哪些點時冪級數發散？

先看一個例子，考查冪級數，因為，由比值審斂法可知，當|x|＜1時，冪級數絕對收斂；當 |x|＞1時，冪級數發散.當x=－1時，冪級數收斂；當x=1時，冪級數發散，所以冪級數的收斂域為[－1,1）.又由前面的討論可知冪級數的收斂域為（－1,1）.冪級數和，其對應的冪級數的收斂域都是一個以原點為中心的區間.事實上，這是冪級數收斂域的一個共性.下面的阿貝爾定理刻畫了冪級數收斂域的這個特征.

定理7.9（阿貝爾定理） 如果冪級數在x=x0（x0≠0）處收斂，則對所有滿足不等式|x|＜|x0|的x，冪級數絕對收斂；如果冪級數在x=x0處發散，則對所有∞滿足不等式|x|＞|x0|的x，冪級數發散.

證明 （1）若x0是冪級數的收斂點，即級數

收斂.根據級數收斂的必要條件，可得

則數列收斂，其必有界，即存在一個常數M，使得

這樣冪級數的一般項的絕對值

因為當|x|＜|x0|時，等比級數 收斂 ，根據定理7.3知級數 收斂，即 絕對收斂.

（2）若冪級數當x=x0時發散，用反證法證明，設有一點x1滿足|x1|＞|x0|使級數收斂，根據（1）的結論，級數當x=x0時應收斂，這與假設矛盾，定理得證.

顯然，所有的冪級數在x0=0處是收斂的.

定理7.9表明這樣一個現象，如果冪級數在點x=x0≠0處收斂，則對于開區間（－|x0|,|x0|）內的任何x，冪級數絕對收斂；如果冪級數在點x=x0≠0處發散，則對于閉區間[－|x0|,|x0|]以外的任何點 x（即 x?[－|x0|,|x0|]），冪級數發散.這就說明，除去兩種極端情況（收斂域僅為x=0或為整個數軸）外，必存在一個分界點R（R＞0），使得冪級數在區間（－R,R）內部處處絕對收斂，在區間[－R,R]外部處處發散，在分界點x=R和x=－R處冪級數可能是收斂的，也可能是發散的.綜上所述，得到下面的推論.

推論 如果冪級數不是僅在一點x0=0處收斂，也不是在整個數軸上都收斂，那么一定存在一個完全確定的正數R，當|x|＜R時，冪級數絕對收斂；當|x|＞R時，冪級數發散；當x=R和x=－R時，冪級數可能收斂，也可能發散.

正數R叫作冪級數 的收斂半徑.開區間（－R,R）叫作冪級數 的收斂區間.再由冪級數在x=R和x=－R處的收斂性就可以決定它的收斂域.冪級數的收斂域是（－R,R）、[－R,R）、（－R,R]或 [－R,R]之一.

若冪級數只在x=0收斂，則規定收斂半徑R=0，若冪級數對一切x都收斂，則規定收斂半徑R=＋∞，這時收斂域為（－∞,＋∞）.

【即時提問7.3】試分別討論冪級數在以下3種情況下，收斂半徑R與|x0|的大小關系？（1）在x=x0處收斂；（2）在x=x0處發散；（3）在x=x0處條件收斂.

討論冪級數收斂的問題主要在于收斂半徑的尋求，下面給出冪級數的收斂半徑的具體求法.

定理7.10 設冪級數的系數全不為零，an, an＋1為相鄰兩項系數，如果或，則冪級數的收斂半徑為

證明 以為例，來給出證明.考查級數的相鄰兩項之比

（1）如果存在，根據比值審斂法，那么當即 時，級數收斂，從而冪級數絕對收斂；當即 時，級數發散，進而冪級數發散.于是收斂半徑.

（2）如果，那么對于任何x≠0，有

所以級數收斂，從而冪級數絕對收斂.于是收斂半徑R=＋∞.

（3）如果，那么對于除x=0外的其他一切x值，級數發散，否則由定理7.9知道將有點x≠0使得冪級數收斂，于是收斂半徑R=0.

例7.20 求冪級數的收斂區間和收斂域.

解 因為

所以此冪級數的收斂半徑，收斂區間是（－5,5）.

在x=5與x=－5處，級數分別為與，前者發散，后者收斂.故級數的收斂域是[－5,5）.

例7.21 求冪級數的收斂區間.

解 因為

所以冪級數的收斂半徑為R=＋∞，從而它的收斂區間為（－∞,＋∞）.

例7.22 求冪級數的收斂域.

解 因為

所以冪級數的收斂半徑為R=0，則級數僅在x=0處收斂，它的收斂域為{x x=0}.

例7.23 求冪級數的收斂半徑.

解 級數缺少奇次冪的項，a2n＋1=0，定理7.10不能直接應用.用比值審斂法來求收斂半徑.冪級數的一般項記為．因為

當，即時，級數收斂；當，即 時，級數發散，所以其收斂半徑為.

例7.24求冪級數的收斂域.

解 令t=x－1，冪級數變為因為

所以收斂半徑R=2.

當t=2時，冪級數成為，此級數發散；當t=－2時，冪級數成為，此級數收斂.因此級數的收斂域為[－2,2）.因為－2≤x－1＜2，即－1≤x＜3，所以原級數的收斂域為[－1,3）.