7.3.1 函數(shù)項級數(shù)

給定一個定義在某區(qū)間I上的函數(shù)列

u1（x）, u2（x）, …, un（x）, …，

則表達(dá)式

u1（x）＋u2（x）＋…＋un（x）＋…

叫作函數(shù)項無窮級數(shù)，簡稱函數(shù)項級數(shù)，記作.即

其中第n項un（x）叫作函數(shù)項級數(shù)的通項或一般項.

對于每一個確定的x0∈I，就相應(yīng)地有一個常數(shù)項級數(shù)，

因此函數(shù)項級數(shù)式（7.9）是常數(shù)項級數(shù)的推廣，常數(shù)項級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的特例.函數(shù)項級數(shù)理論與常數(shù)項級數(shù)不同，它不僅要討論每個形如式（7.10）的常數(shù)項級數(shù)的斂散性，更重要的是，還要研究由于x的變動而得到的許許多多常數(shù)項級數(shù)之間的關(guān)系.

函數(shù)項級數(shù)可能對某些x是收斂的，而對另一些x則是發(fā)散的.例如級數(shù)

對于每一個固定的x，它是一個幾何級數(shù)，公比為x，則當(dāng)|x|＜1時，級數(shù)收斂；當(dāng)|x|≥1時，級數(shù)發(fā)散.

如果在定義域I上取定x=x0，使得常數(shù)項級數(shù)收斂，那么稱點x0為函數(shù)項級數(shù) 的收斂點；否則稱為函數(shù)項級數(shù) 的發(fā)散點.函數(shù)項級數(shù) 的所有收斂點組成的集合，即能使函數(shù)項級數(shù)收斂的x的全體，稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域；所有發(fā)散點組成的集合稱為發(fā)散域.

對于收斂域內(nèi)的任意一個實數(shù)x，函數(shù)項級數(shù)就變成了一個收斂的常數(shù)項級數(shù)，因而有一確定的和s，并與x對應(yīng).這樣在函數(shù)項級數(shù)收斂域上，就確定了函數(shù)項級數(shù)的和是一個關(guān)于x的函數(shù)s（x），通常稱此函數(shù)s（x）為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).和函數(shù)的定義域就是該級數(shù)的收斂域，即

函數(shù)項級數(shù)式（7.9）的前n項的部分和記為sn（x），則在收斂域上有

記rn（x）= s（x）－sn（x）, rn（x）稱為函數(shù)項級數(shù)的余項（當(dāng)然，只有 x在收斂域上，rn（x）才有意義），并且在收斂域上.

例7.19 求級數(shù)的收斂域.

解 由比值審斂法可知

（1）當(dāng)時，|1＋x|＞1，即x＞0或x＜－2時，原級數(shù)絕對收斂.

（2）當(dāng)時，|1＋x|＜1，即－2＜x＜0時，原級數(shù)發(fā)散.

（3）當(dāng)時，x=0或x=－2．當(dāng)x=0時，原級數(shù)為，該級數(shù)收斂；當(dāng)x=－2時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散.

故原級數(shù)的收斂域為（－∞,－2）∪[0,＋∞）.

對于一般的函數(shù)項級數(shù)，它的收斂性討論起來十分復(fù)雜.下面我們討論一類較為簡單而應(yīng)用上又比較方便的函數(shù)項級數(shù)——冪級數(shù).