2.4.1 靜止坐標系數學模型

類似于2.3.1節的推導方法，建立電動機的電感矩陣L如下：

其中，繞組自感L_ii（i=A～E）的推導過程見式（2-18）；同樣的方法，也可以推導互感M_ij（i，j=A～E，且i≠j），以下以A，B相繞組之間的互感M_AB=M_BA表達式推導為例。假設考慮諧波因數，且B相繞組流過電流i_B，則在A相繞組中產生的耦合磁鏈ψ_A如下：

B相繞組對A相繞組產生的互感M_AB如下：

式中，ψ_dmn=F_φncosn（θ_r-2π/5）Nk_wn/R_sd，ψ_qmn=F_φnsinn（θ_r-2π/5）Nk_wn/R_sq分別為n次氣隙主磁鏈在d軸、q軸上的分量；R_sd，R_sq分別為相繞組磁路直、交軸磁阻；N為相繞組匝數；k_wn為n次諧波繞組系數，F_φn為n次諧波磁動勢。L_smn=0.5（L_dmn+L_qmn），L_rsn=0.5（L_dmn-L_qmn）。

將自感和互感表達式代入式（2-63）后，可以得到五相永磁同步電動機電感矩陣具體表達式如下：

式中，α=2π/5。本書主要考慮諧波次數為3的情況，則對應電動機電感矩陣進一步具體化為

式中，I₅為5×5的單位矩陣，L_DC1，L_AC1分別為基波平面氣隙電感中的直流分量系數和時變分量系數；L_DC3，L_AC3分別為3次諧波平面氣隙電感中的直流分量系數和時變分量系數。上述四個變量的具體表達式分別如下：

把基波平面上幅值為ψ_f1的永磁體磁鏈、3次諧波平面上幅值為ψ_f3的永磁體磁鏈分別向各自平面A～E軸線進行投影，然后對應軸線上的投影求和，即可得到A～E相繞組耦合的永磁體磁鏈ψ_Af～ψ_Ef分別如下：

根據式（2-72），進一步對時間求導數，即可推導出A～E相繞組中的反電動勢如下：

根據電動機學中磁路耦合原理分析，定子各相繞組磁鏈等于自感磁鏈、他相對其產生的互感磁鏈及永磁體耦合磁鏈之和，而繞組電流產生的自感磁鏈及互感磁鏈可以用上述推導的電感與電流的乘積表示。所以，建立A～E相繞組磁鏈ψ_sA～ψ_sE的數學模型如下：

繞組電阻壓降、繞組反電動勢之和與繞組端電壓u_sA～u_sE相平衡，從而建立繞組A～E電壓平衡方程式如下：

為了推導電磁轉矩表達式，需建立多相電動機的磁共能表達式。假設電動機磁路為線性磁路，則五相永磁同步電動機的磁共能W′_m如下：

式中，i_s=［i_sA i_sB i_sC i_sD i_sE］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef］T分別為定子電流及相繞組耦合永磁體磁鏈列矢量。式（2-76）兩邊對轉子位置角的機械角求偏微分，得到電磁轉矩T_e如下：

其中

根據式（2-77）～式（2-80）可見，反電動勢中含有3次諧波后，電動機除了產生基波轉矩外，還包括3次諧波轉矩成分，使得該種電動機產生轉矩更加靈活。同時，從以上數學模型建立過程及結果可見，由于反電動勢含有諧波后使得自然坐標系中的數學模型更加復雜，因此如何進一步簡化該數學模型，更加方便電動機瞬時轉矩控制策略的構建，是實現該類型電動機高性能驅動控制的關鍵。

為此，采用坐標變換方法，把實際電動機模型映射到α₁β₁機電能量轉換基波平面、α₃β₃機電能量轉換3次諧波平面和z零序軸系上。根據2.2節多相交流電動機多平面分解坐標變換理論，構建五相自然坐標系變量向α₁β₁α₃β₃z的變換矩陣T₅，該變換同時遵循了變換前后系統功率不變原則。

式（2-74）兩邊同時左乘變換矩陣T₅，得到α₁β₁α₃β₃z軸系下的定子磁鏈表達式如下：

式中，變量在α₁β₁α₃β₃z軸上的分量用下角區分。

把式（2-66）電感矩陣L、變換矩陣T₅代入式（2-83）中，進一步推導得

式中，，分別為轉子永磁磁鏈在α₁β₁軸上的投影；，分別為轉子永磁磁鏈在α₃β₃軸上的投影。L_σ=L_sσI₅，L_sσ=L_sσ1+L_sσ3。

令i_s1=［i_sα1 i_sβ1］T，ψ_r1=［ψ_rα1 ψ_rβ1］T，i_s3=［i_sα3 i_sβ3］T，ψ_r3=［ψ_rα3 ψ_rβ3］T，則L_θr1、L_θr3分別如下：

式（2-84）可進一步簡記為

式（2-75）兩邊同時左乘變換矩陣T₅，得到α₁β₁α₃β₃z軸系下的定子電壓表達式如下：

考慮磁路線性的情況下，電動機的磁共能如下：

所以，電磁轉矩如下：

從式（2-90）可見，反電動勢含有3次諧波的五相對稱繞組永磁同步電動機機電能量轉換同時處于α₁β₁平面、α₃β₃平面上，電磁轉矩是兩個平面上的定子磁鏈矢量與定子電流矢量的叉乘之和；而由式（2-88）進一步可見，兩個平面上的定子磁鏈與該平面上的定子電壓和定子電流有關，若忽略定子電阻壓降，則各平面上定子磁鏈直接由該平面定子電壓控制。零序軸系不參與機電能量轉換，其回路通過定子電阻和漏電感構成。