2.4.1 靜止坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型

類似于2.3.1節(jié)的推導(dǎo)方法，建立電動機的電感矩陣L如下：

其中，繞組自感L_ii（i=A～E）的推導(dǎo)過程見式（2-18）；同樣的方法，也可以推導(dǎo)互感M_ij（i，j=A～E，且i≠j），以下以A，B相繞組之間的互感M_AB=M_BA表達式推導(dǎo)為例。假設(shè)考慮諧波因數(shù)，且B相繞組流過電流i_B，則在A相繞組中產(chǎn)生的耦合磁鏈ψ_A如下：

B相繞組對A相繞組產(chǎn)生的互感M_AB如下：

式中，ψ_dmn=F_φncosn（θ_r-2π/5）Nk_wn/R_sd，ψ_qmn=F_φnsinn（θ_r-2π/5）Nk_wn/R_sq分別為n次氣隙主磁鏈在d軸、q軸上的分量；R_sd，R_sq分別為相繞組磁路直、交軸磁阻；N為相繞組匝數(shù)；k_wn為n次諧波繞組系數(shù)，F_φn為n次諧波磁動勢。L_smn=0.5（L_dmn+L_qmn），L_rsn=0.5（L_dmn-L_qmn）。

將自感和互感表達式代入式（2-63）后，可以得到五相永磁同步電動機電感矩陣具體表達式如下：

式中，α=2π/5。本書主要考慮諧波次數(shù)為3的情況，則對應(yīng)電動機電感矩陣進一步具體化為

式中，I₅為5×5的單位矩陣，L_DC1，L_AC1分別為基波平面氣隙電感中的直流分量系數(shù)和時變分量系數(shù)；L_DC3，L_AC3分別為3次諧波平面氣隙電感中的直流分量系數(shù)和時變分量系數(shù)。上述四個變量的具體表達式分別如下：

把基波平面上幅值為ψ_f1的永磁體磁鏈、3次諧波平面上幅值為ψ_f3的永磁體磁鏈分別向各自平面A～E軸線進行投影，然后對應(yīng)軸線上的投影求和，即可得到A～E相繞組耦合的永磁體磁鏈ψ_Af～ψ_Ef分別如下：

根據(jù)式（2-72），進一步對時間求導(dǎo)數(shù)，即可推導(dǎo)出A～E相繞組中的反電動勢如下：

根據(jù)電動機學(xué)中磁路耦合原理分析，定子各相繞組磁鏈等于自感磁鏈、他相對其產(chǎn)生的互感磁鏈及永磁體耦合磁鏈之和，而繞組電流產(chǎn)生的自感磁鏈及互感磁鏈可以用上述推導(dǎo)的電感與電流的乘積表示。所以，建立A～E相繞組磁鏈ψ_sA～ψ_sE的數(shù)學(xué)模型如下：

繞組電阻壓降、繞組反電動勢之和與繞組端電壓u_sA～u_sE相平衡，從而建立繞組A～E電壓平衡方程式如下：

為了推導(dǎo)電磁轉(zhuǎn)矩表達式，需建立多相電動機的磁共能表達式。假設(shè)電動機磁路為線性磁路，則五相永磁同步電動機的磁共能W′_m如下：

式中，i_s=［i_sA i_sB i_sC i_sD i_sE］T，ψ_r=［ψ_Af ψ_Bf ψ_Cf ψ_Df ψ_Ef］T分別為定子電流及相繞組耦合永磁體磁鏈列矢量。式（2-76）兩邊對轉(zhuǎn)子位置角的機械角求偏微分，得到電磁轉(zhuǎn)矩T_e如下：

其中

根據(jù)式（2-77）～式（2-80）可見，反電動勢中含有3次諧波后，電動機除了產(chǎn)生基波轉(zhuǎn)矩外，還包括3次諧波轉(zhuǎn)矩成分，使得該種電動機產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩更加靈活。同時，從以上數(shù)學(xué)模型建立過程及結(jié)果可見，由于反電動勢含有諧波后使得自然坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型更加復(fù)雜，因此如何進一步簡化該數(shù)學(xué)模型，更加方便電動機瞬時轉(zhuǎn)矩控制策略的構(gòu)建，是實現(xiàn)該類型電動機高性能驅(qū)動控制的關(guān)鍵。

為此，采用坐標(biāo)變換方法，把實際電動機模型映射到α₁β₁機電能量轉(zhuǎn)換基波平面、α₃β₃機電能量轉(zhuǎn)換3次諧波平面和z零序軸系上。根據(jù)2.2節(jié)多相交流電動機多平面分解坐標(biāo)變換理論，構(gòu)建五相自然坐標(biāo)系變量向α₁β₁α₃β₃z的變換矩陣T₅，該變換同時遵循了變換前后系統(tǒng)功率不變原則。

式（2-74）兩邊同時左乘變換矩陣T₅，得到α₁β₁α₃β₃z軸系下的定子磁鏈表達式如下：

式中，變量在α₁β₁α₃β₃z軸上的分量用下角區(qū)分。

把式（2-66）電感矩陣L、變換矩陣T₅代入式（2-83）中，進一步推導(dǎo)得

式中，，分別為轉(zhuǎn)子永磁磁鏈在α₁β₁軸上的投影；，分別為轉(zhuǎn)子永磁磁鏈在α₃β₃軸上的投影。L_σ=L_sσI₅，L_sσ=L_sσ1+L_sσ3。

令i_s1=［i_sα1 i_sβ1］T，ψ_r1=［ψ_rα1 ψ_rβ1］T，i_s3=［i_sα3 i_sβ3］T，ψ_r3=［ψ_rα3 ψ_rβ3］T，則L_θr1、L_θr3分別如下：

式（2-84）可進一步簡記為

式（2-75）兩邊同時左乘變換矩陣T₅，得到α₁β₁α₃β₃z軸系下的定子電壓表達式如下：

考慮磁路線性的情況下，電動機的磁共能如下：

所以，電磁轉(zhuǎn)矩如下：

從式（2-90）可見，反電動勢含有3次諧波的五相對稱繞組永磁同步電動機機電能量轉(zhuǎn)換同時處于α₁β₁平面、α₃β₃平面上，電磁轉(zhuǎn)矩是兩個平面上的定子磁鏈?zhǔn)噶颗c定子電流矢量的叉乘之和；而由式（2-88）進一步可見，兩個平面上的定子磁鏈與該平面上的定子電壓和定子電流有關(guān)，若忽略定子電阻壓降，則各平面上定子磁鏈直接由該平面定子電壓控制。零序軸系不參與機電能量轉(zhuǎn)換，其回路通過定子電阻和漏電感構(gòu)成。