2.4.4 信號流圖及梅遜增益公式
信號流圖和動態結構圖相似，都是用圖示的方法表示控制系統的結構和信號傳遞過程，所以也是一種數學模型。當系統的動態結構圖復雜，應用動態結構圖的等效變換求取系統的傳遞函數就變得非常煩瑣，而信號流圖不需要作等效變換，利用梅遜增益公式就可以求得控制系統中任意兩個變量之間的傳遞函數。
1.信號流圖的組成
信號流圖由節點和支路組成如圖2-56所示。其中節點由小圓圈表示，代表系統變量；支路由有向線段表示，代表變量信號的傳遞方向；在支路線段上標有支路所連接節點之間的傳遞函數，稱為支路增益。
圖2-56 信號流圖
信號流圖中的節點主要有以下3種。
1）源節點：只有信號輸出支路，而沒有輸入支路的節點，稱為源節點，它一般表示系統的輸入信號，所以也稱為輸入節點，圖2-56中x1就是源節點。
2）阱節點：只有信號輸入支路，而沒有輸出支路的節點，稱為阱節點，它一般表示系統的輸出信號，所以也稱為輸出節點。有時信號流圖中沒有一個節點是僅具有輸入支路的，只要定義信號流圖中任一變量為輸出變量，如圖2-56中的x5，然后從該節點變量引出一條增益為1的支路，即可形成個阱節點，如圖2-56中的x6。
3）混合節點：既有信號輸入支路，又有輸出支路的節點，稱為混合節點，圖2-56中的x2、x3、x4、x5都是混合節點。
在信號流圖中，還會出現以下術語。
1）通路：指從一個節點出發，沿著支路箭頭的方向經過多個節點的路徑。
2）前向通路：信號從輸入節點向輸出節點傳遞時，每個節點只經過一次的通路。
3）回路：通路的起點和終點都是同一個節點，且通路中每個節點只經過一次。
4）不接觸回路：回路與回路之間沒有公共節點，稱這些回路為不接觸回路。
2.信號流圖的繪制
信號流圖可以由微分方程組或傳遞函數得到，也可以通過框圖進行繪制。
例2-21 試由式（2-94），繪制圖2-33所示RL無源網絡的信號流圖。
解：RL無源網絡的輸入信號是Ur(s)，輸出是Uy(s)，可由輸入節點和輸出節點表示，由式（2-94）可知除輸入、輸出變量以外，還有4個中間變量，也可以表示成節點，變量與變量之間的傳遞函數就是對應節點與節點之間的支路增益，所以圖2-33所示RL無源網絡的信號流圖如圖2-57a。
例2-22 已知圖2-36所示的RC無源網絡的動態結構圖如圖2-39所示，試繪制其信號流圖。
解：在動態結構圖中，只需要將變量變成節點，方框中的傳遞函數作為對應通路的支路增益就可得到RC無源網絡的信號流圖，如圖2-57b所示。
圖2-57 RL及RC無源網絡的信號流圖 a）RL無源網絡 b）RC無源網絡
3.梅遜增益公式
框圖的化簡規則對信號流圖也是適用的，但是應用框圖的化簡方法化簡信號流圖，仍然顯得煩瑣，而應用梅遜增益公式，可以直接求出任意源節點和阱節點之間的傳遞函數G(s)，梅遜增益公式為
梅遜增益公式（2-114）中Δ為特征式，其計算公式為
梅遜增益公式（2-114）中Pk為第k條前向通道總增益；Δk為第k條前向通路特征式的余子式，即把與該通路相接觸的回路增益置為零后，特征式Δ所余下的部分，也就是與第k條前向通路不相接觸的那一部分信號流圖的特征式；在特征式（2-115）中∑L1是所有單獨回路的增益之和，∑L2是所有兩個互不接觸回路的增益乘積之和，∑L3是所有三個互不接觸回路的增益乘積之和，∑Lm是所有m個互不接觸回路的增益乘積之和。
例2-23 試利用梅森增益公式求圖2-57b所示信號流圖的傳遞函數Uy(s)/Ur(s)。
解：1）圖2-57b所示信號流圖只有一條前向通道（如圖2-58a所示）。
所以 
2）信號流圖中有三個單獨回路（如圖2-58b～2-58c所示）。
圖2-58 例2-23梅遜增益公式中的前向通道及單獨回路
①圖2-58b所示單獨回路a的增益如下
②圖2-58c所示單獨回路b的增益如下
③圖2-58d所示單獨回路c的增益如下
所以 
其中，回路a和回路b是兩個互不接觸的回路，所以
信號流圖中沒有三個互不接觸的回路，所以
∑L3=0
則 
信號流圖中唯一的一條前向通道和所有的回路都有接觸，所以
Δ1=1
3）把以上要素代入梅遜增益公式，就可以得到傳遞函數
這個結果與用動態結構圖化簡得到的結果式（2-111）是一樣，但是可以看到，應用梅遜增益公式更簡捷方便。
例2-24 設控制系統的動態結構圖如圖2-59所示，試求該系統的傳遞函數Y(s)/R(s)。
圖2-59 控制系統的動態結構圖
解：1）由圖2-59，可以得到該控制系統的信號流圖如圖2-60所示。
圖2-60 例2-24系統的信號流圖
2）系統有一條前向通道，即P1=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)。
3）信號流圖有4個單獨回路
La=-G2G3H3，Lb=-G1G2G3H2，Lc=G1G2G3G4H1，Ld=-G3G4H4
系統4個回路都互相有接觸，且與唯一的前向通道都有接觸，所以
Δ=1-∑L1=1-（La+Lb+Lc+Ld）=1+G2G3H3+G1G2G3H2+G3G4H4-G1G2G3G4H1
Δ1=1
4）由梅遜增益公式得到系統的傳遞函數為
例2-25 已知系統的信號流圖如圖2-61a所示，求其傳遞函數x5/x1。
圖2-61 系統信號流圖
解：1）從圖2-61a所示系統信號流圖可以看到有5個單獨回路，其中，圖2-61e回路和圖2-61d、2-61f回路是兩兩不接觸回路，所以有
Lde=a23a32a44，Lef=a23a35a52a44
則特征式為
2）圖2-61所示系統信號流圖有兩條前向通道，第一條前向通道與所有回路均有接觸，如圖2-61g所示，可得
P1=a12a23a34a45，Δ1=1
第二條前向通道與圖2-61e所示回路不接觸，如圖2-61h所示，得到
P2=a12a23a35，Δ2=1-a44
3）由梅遜增益公式就可以得傳遞函數
需要注意的是，當對框圖和信號流圖的轉化以及梅遜增益公式的應用都較為熟練時，梅遜增益公式可直接用于系統的動態結構圖，不必做出信號流圖，這也是梅遜增益公式意義所在，讀者可自己練習。