2.4.2 動態結構圖的繪制

1.根據機理分析法繪制控制系統動態結構圖的一般步驟

1）根據控制系統的工作原理將系統劃分為若干組成環節，確定系統及各組成環節的輸入量、輸出量。

2）根據系統各組成環節輸入、輸出之間所遵循的物理、電學、化學等定律建立微分方程（組）或s域變換方程（組），然后繪制各環節或方程組的框圖。

3）將系統的輸入量置于結構圖最左端，按照系統中信號的傳遞順序，依次從左至右，從輸入端到輸出端，將各方框連接起來，就得到系統的動態結構圖。

系統動態結構圖也是系統的數學模型，是用圖形表示各組成環節的聯立方程組，因此可以詳盡地表示系統內部信息的傳遞與轉換關系。需要注意的是，按“環節”劃分系統組成，是對組成系統的裝置、元器件根據其數學模型的抽象，一個環節用一個方框表示。環節與系統中的裝置、元器件并不都是一一對應關系，一個環節可以包含一個或多個裝置、元器件，也可能一個環節只對應了裝置、元器件的某一部分實際結構。

例2-15 試建立圖2-28所示的速度控制系統的動態結構圖，其中系統的給定電壓u_r(t)為輸入量，輸出負載轉速ω_L(t)為輸出量。

解：圖2-28所示速度控制系統的被控對象是通過減速器帶載的電動機，系統中的I級和Ⅱ級運算放大器的輸入阻抗較大，所以它們之間可以認為是無負載效應的，可以看作是兩個獨立的環節，所以這個速度控制系統可以看作是由6個環節組成的。

（1）I級運算放大器

這一級是由一個比例放大器組成，其中U_r(s)是由給定電位器提供的給定轉速ω_r(t)的轉換值，U_f(s)是負載轉速ω_L(t)的測量值。U_f(s)與U_r(s)在此進行比較并對偏差電壓加以放大。

（2）Ⅱ級運算放大器

這一級也是由一個運算放大器構成，由圖可知，其反饋電路復阻抗Z₂(s)=R₃+（1/Cs），由式（2-50）可得控制器的輸出電壓為

這一級運算放大器通常稱為比例-積分環節，或PI控制器，它的作用將在第3章中詳細討論。

（3）功率放大器

式中，K_a是功率放大器的放大增益常數。

（4）直流電動機

由例2-8的結論可知，直流電動機的傳遞函數為

式中，K_m為電動機的傳遞系數；T_m為電動機的機電時間常數。均是考慮減速齒輪系和負載后折算到電動機軸上的等效值。

（5）減速齒輪系

式中，i為減速齒輪系的速比。減速器帶載轉動，Ω_L(s)就是負載的轉速，也就是系統的輸出。

（6）直流測速發電機

由例2-13中式（2-60）可知直流測速發電機的傳遞函數為

這一級實現對負載轉速進行檢測，其中，K_f為發電機測速系數。

依照信號傳遞的順序依次作出以上環節的框圖并連接，就可得到如圖2-29所示的速度控制系統的動態結構圖。

例2-16 試建立圖2-30所示的位置隨動系統的動態結構圖，其中輸入量為誤差檢測器中角位移器1提供的給定轉角θ_r(t)，輸出為角位移器2檢測的負載轉角θ_y(t)。

解：系統由角度誤差檢測器、放大器、直流電動機和減速齒輪系4個裝置組成。

（1）角度誤差檢測器

式中，K是角度誤差檢測器的傳遞系數。

（2）放大器

式中，K_a是放大器的放大系數。

（3）通過減速齒輪系帶載的直流電動機

由于電動機帶動減速齒輪系和負載一起轉動，在建立電動機的數學模型時，應將負載軸上負載與Z₂齒輪的轉動慣量J₂和黏性摩擦系數f₂折算到電動機軸上。電動機軸上的總轉動慣量J和總黏性摩擦系數f為

式中，J₁和f₁分別是電動機轉子和齒數為Z₁的齒輪的轉動慣量和黏性摩擦系數；i為減速齒輪系的速比，i=Z₂/Z₁。

根據電動機的工作原理，由例2-4中式（2-7）～式（2-9）可得到下列微分方程

用J和f替換例2-4中式（2-10）轉矩平衡方程中的J_m和f_m，得到

在零初始條件下對上述4個微分方程進行拉普拉斯變換并作變形，得到

（4）減速齒輪系環節

式中，Z₁、Z₂分別為齒輪1和齒輪2的齒數。

根據式（2-87）～式（2-93）繪制出的位置隨動控制系統環節的框圖如圖2-31所示。將環節框圖依照信號傳遞的順序依次連接，就可得到如圖2-32所示的位置隨動系統的動態結構圖。

2.由復阻抗概念建立無源網絡動態結構圖

1）建立無源網絡動態結構圖時，可直接由復阻抗概念寫出電路的復數域代數方程，不需列寫電路微分方程，根據各復域代數方程作圖即可得到網絡動態結構圖。

例2-17 繪制圖2-33所示RL無源網絡的結構圖。

解：根據復阻抗建立網絡復數域方程，為便于繪制框圖，寫在方程左端是各圖的輸出量。

依照式（2-94）傳遞函數方程組依次繪制框圖，如圖2-34所示。

將輸入信號U_r(s)置于框圖左端，按照框圖中各變量的傳遞順序，依次從左至右，從輸入端U_r(s)到輸出端U_y(s)，將各方框連接起來，同名信號線直接相連或由分支點連接，就得到如圖2-35的無源網絡的動態結構圖。

2）對于無源網絡，利用復阻抗概念，還可以用更簡便的方法繪制對應的動態結構圖，不需列寫任何方程，也不需作任何電路計算，只需正確確定網絡的輸入、輸出和獨立的中間變量，正確應用基爾霍夫定律分析電路。網絡的動態結構圖反映的是網絡中信號的傳遞與轉換，電流、電壓變量由信號線表示；電路元件為環節，用方框表示，一個電路元件只與一個環節相對應，環節的傳遞函數即相應電路元件的復阻抗或其倒數，即當電流I(s)為輸入，電壓U(s)為輸出，電路元件為環節，其傳遞函數就是復阻抗G(s)=U(s)/I(s)=Z；反之，則其傳遞函數為復阻抗的倒數G(s)=I(s)/U(s)=1/Z。變量的疊加用比較點；同一變量有不同去向，則必須用分支點。用這種方法繪制網絡的動態結構圖的特點是簡單、清晰，便于由動態結構圖求取網絡傳遞函數。

例2-18 繪制圖2-36所示RC無源網絡的動態結構圖。

解：將輸入量U_r(s)、輸出量U_y(s)，電容C₁兩端的電壓、獨立中間變量（流經電阻R₁、R₂的電流I₁(s)和I₂(s)）標注在圖中，即得到圖2-37。分析該網絡可知，由輸入量U_r(s)與電容C₁兩端的電壓之差，得到R₁兩端電壓，該電壓作為輸入，經環節1/R₁得到的輸出電流I₁(s)（第一個獨立中間變量），可由與之對應的框圖2-38a表示。I₁(s)與I₂(s)之差作為輸入，經環節1/C₁s轉換為輸出電壓，如圖2-38b所示。由減去網絡輸出量U_y(s)，得到電壓，作為輸入，經環節1/R₂得到電流I₂(s)（第二個中間變量），可作出與之對應的框圖2-38c。I₂(s)經環節1/C₂s即得到輸出電壓U_y(s)，其對應的框圖為圖2-38d。以上4部分框圖已包含了該網絡電路圖提供的輸入、輸出、獨立中間變量及其在各電路元件上的信號轉換關系，相當于“已知條件”已全部正確運用。

將以上4個局部框圖按輸入U_r(s)到輸出U_у(s)順次連接起來，同名的信號線直接相連或經分支點相連，則得到如圖3-39所示該無源網絡的動態結構圖。

由圖2-39可見，輸入、輸出、獨立中間變量與各電路元件對應的環節，形成了信號傳遞的3個閉合回路。信號線I₂(s)在環節1/R₂、1/C₂s所在的閉合回路②和環節1/R₁、1/C₁s所在的閉合回路①之間形成的負反饋，就是這個電路存在負載效應的實質。由于第三個回路的存在，輸入輸出之間的關系絕不等于只有閉合回路①、②的串聯，必須將由輸入U_r(s)到輸出Uу(s)作為一個總體來建立其數學模型，例2-9由復阻抗建立該無源網絡的傳遞函數式，即式（2-49）的分母中R₁C₂s項就是負載效應的反映，式（2-49）只能表示負載效應的存在，在該網絡的動態結構圖中卻能更清晰地表明了負載效應形成的原因。

同一系統或無源網絡的動態結構圖不唯一。如果將圖2-38a重作在圖2-40中，如圖2-40中①所示；由電流I₁(s)減去流經電容C₁的電流，即得到第二個中間變量電流I₂(s)；I₂(s)經環節1/C₂s轉換為輸出信號U_у(s)，置于最右端，如圖2-40中②所示；經過分支點將輸出信號U_у(s)轉入反饋通道，找出U_у(s)、、的關系，則可完成整個網絡的動態結構圖。以電流I₂(s)作為輸入信號，經環節R₂轉換得到的輸出與U_у(s)相加即得到，如圖2-40中③所示；相同的連接起來，且以作為輸入信號，經環節C₁s即轉換為進入比較點的電流，如圖2-40中④所示。至此，網絡提供的“已知條件”都用上了，整個網絡的動態結構圖2-40就作成了。還可作出該網絡不同形式的動態結構圖；后面將會看到，盡管這個網絡可以有不同的動態結構圖，但它們反映的輸入U_r(s)、輸出U_у(s)之間的傳遞函數G(s)=U_у(s)/U_r(s)，即式（2-49）是唯一的。

動態結構圖是系統組成環節聯立方程組的圖形表示，也是用動態結構圖等效變換求得系統輸入輸出傳遞函數的依據。