2.3.1 傳遞函數

線性定常系統的傳遞函數，定義為零初始條件下，系統輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換的比，即G(s)=Y(s)/R(s)。

設線性定常系統可由式（2-15）所示的n階微分方程模型描述，即

式中，у(t)是系統的輸出量；r(t)是系統的輸入量；a_i(i=0，1，2，…，n)和b_j(j=0，1，2，…，m)是表征系統結構和參數的常系數。在у(t)、r(t)及其各階導數的初始值(t=0時刻)都為零的前提條件下（即零初始條件），對上式等號兩邊進行拉普拉斯變換，得到

由輸出量的拉普拉斯變換Y(s)比輸入量的拉普拉斯變換R(s)，就得到式（2-15）表達的線性定常系統的傳遞函數

傳遞函數與輸入、輸出之間的關系可用圖2-8的框圖表示。

常用的控制系統傳遞函數的表示形式主要有三種，第一種是傳遞函數的多項式之比表示形式，如式（2-32）所示。第二種是傳遞函數的零、極點表示形式，對傳遞函數的分子、分母多項式因式分解為一次因子連乘積，就可得到傳遞函數的零、極點表示形式

式中，z_j（j=1，2，…，m）稱為傳遞函數的零點；s_i（i=1，2，…，n）稱為傳遞函數的極點。顯然系統傳遞函數的零點和極點完全取決于各項系數a_i、b_j，零點和極點可能是實數，也可能是共軛復數，系數K*=b₀/a₀稱為傳遞系數。將傳遞函數的零點與極點標示在s復平面上，則得到系統傳遞函數的零點、極點分布圖，如圖2-9所示，其中零點用“o”表示，極點用“×”表示，如果系統傳遞函數的分子、分母中各項系數a_i、b_j已知，則傳遞函數表達式與其零點、極點分布圖是唯一對應的。

對傳遞函數的分子、分母多項式因式分解也可寫為“時間常數型”，就得到傳遞函數的第三種表示形式

式中，T_j、T_i稱為時間常數；K=b_m/a_n稱為放大系數或增益。