2.2.2 非線性微分方程的線性化

如果控制系統輸入輸出之間的關系是由式（2-15）所示的線性常系數微分方程所描述的，則這個系統稱為線性定常系統。線性定常系統能應用經典控制論中最成熟的理論進行系統分析和設計。一個由線性元件組成的系統必然是線性系統，線性系統滿足疊加原理，疊加原理為系統的分析和研究帶來了極大的方便。

由于構成控制系統的元器件都有不同程度的非線性特性，嚴格地說，幾乎所有的實際物理系統都是非線性的。描述非線性系統的非線性微分方程沒有一種完整、成熟、統一的解法，不能應用疊加原理。為了分析方便，需要對系統組成元器件的非線性作適當的處理。對非線性進行處理最簡便的方法就是直接忽略。當物理元器件的非線性特性對系統影響很小，就可以忽略其非線性影響，將這些物理元器件看成是線性元件。但是，很多情況下，是難以判斷要忽略的非線性部分是否會對系統分析產生影響，所以在這種情況下，對非線性處理更好的方法是采用小偏差法（或者叫切線法）對其非線性數學模型進行線性化。這種方法適合于具有連續變化的非線性特性，在一個很小的范圍里，將非線性特性用一段直線的線性特性來表示。對于如圖2-5所示的連續變化的非線性特性，設其非線性特性函數為у=f(x)，如果系統只工作在其平衡狀態附近，即當系統受到擾動后，系統的輸出只在平衡點狀態附近變化，則可將非線性特性函數у=f(x)在其相應的工作點A(x₀，у₀)附近用泰勒級數展開，即將у=f(x)展開為

當增量（即“偏差”）Δx=(x-x₀)很小時，即在“小偏差”條件下，將泰勒級數展開式中的高次冪項略去，只保留一次冪項

即

記系數K=[df/dx]|_x0，即曲線在A點的斜率，則有

式（2-18）即為非線性特性函數у=f(x)在工作點A附近由變量增量Δx、Δу表示的線性化方程。

如果非線性特性函數有兩個自變量，也可以用小偏差法對其進行線性化處理。設非線性特性函數為у=f(x₁，x₂)，在其工作平衡點A(x₁₀，x₂₀)附近用泰勒級數展開時，應分別求у對x₁、x₂的偏導數

同樣，當增量Δx₁=(x₁-x₁₀)和Δx₂=(x₂-x₂₀)很小時，將泰勒級數展開式中的高次冪項可以略去，只保留一次冪項

即

令，，，則可得到兩變量非線性特性函數的線性化增量方程

從上述可見，用小偏差法對非線性方程線性化處理的結果是用變量增量的線性方程Δу=KΔx代替變量的非線性函數у=f(x)，或用Δу=K₁Δx₁+K₂Δx₂代替非線性函數у=f(x₁，x₂)。對非線性系統中的線性元件，其變量增量方程與變量方程形式完全相同，各變量加上Δ即可，建立系統微分方程過程中的“消去中間變量”這一步驟實際就是對系統各組成環節的增量方程組消元，最后得到系統的線性化增量方程。為簡化起見，常略去各變量的增量符號Δ，即得到直接由變量表示的線性化的常系數微分方程式，即式（2-15），關于這點在此說明后，下面不再一一解釋。

在求取線性化增量方程時應注意，線性化是相對于某一工作點的，工作點不同，所得到的線性化方程的系數K值也不同。顯然，變量的偏差Δx越小，線性化的近似程度越高。

事實證明，小偏差法在實際的大多數控制系統中是可行的。自動控制系統在正常情況下所處的平衡狀態對應于被控制量與其期望值保持一致的狀態，此時被控對象運行在預期狀態，控制系統不需動作。一旦給定輸入改變或受到干擾后，被控制量偏離期望值，產生偏差，控制系統就要進行控制，即根據偏差產生控制作用去消除偏差或減小偏差到允許范圍內。所以，控制系統中被控制量與期望值不會有很大的偏差，只是“小偏差”。在建立控制系統的數學模型時，通常都是以被控制量與其期望值保持一致的平衡狀態作為研究的起始狀態，只研究相對于平衡點系統輸入量、輸出量的運動特性，這正是增量線性化方程描述的系統特性，因此用小偏差法對系統中的非線性特性函數進行線性化是符合系統實際的。所以將此類具有連續變化特性、可以用“小偏差法”進行線性化的非線性特性稱為非本質非線性特性，例如圖2-6a所示。反之則稱為本質非線性特性，如圖2-6b～2-6d所示的非線性特性或其組合。

a）非本質非線性特性 b）死區特性 c）間隙特性 d）繼電器特性

對于一些非線性特性嚴重、具有本質非線性特性的物理元器件或系統，不能夠用小偏差法進行線性化處理，需要采用非線性系統的研究方法。

例2-5 圖2-7所示水箱，輸入量為流入量Q₁(t)，輸出量為水箱水位h(t)，寫出水箱的動態方程式，其中水箱截面積為A。

解：分析水箱工作狀態可知，若流入量Q₁(t)與流出量Q₂(t)不相等，則會引起蓄水量變化

流出量Q₂(t)是水位h(t)的非線性函數

式中，α為常數，取決于流出管路的阻力，若將式（2-23）代入式（2-22）則可得所求的動態方程式為

這是一個非線性方程，是由于式（2-23）的非線性關系引起的。式（2-23）的非線性關系可以采用小偏差法進行線性化。

設水箱的穩定工作點為A(Q₂₀，h₀)，則根據式（2-18）可對式（2-23）進行線性化

即

式中，，是水箱在h=h₀，Q₂=Q₂₀時水流管路的阻力系數，稱為液阻。將式（2-22）也改寫為增量形式，即

由式（2-26）代入式（2-27），消去中間變量ΔQ₂(t)，就得到

式（2-28）就是將式（2-24）線性化后得到的增量形式的一階常系數線性微分方程。為了表達簡便，常常省略增量符號“Δ”，寫為變量形式的線性化一階微分方程

同樣上式可寫為標準化形式

式中，時間常數T=AR；放大系數K=R。