3.2 正弦交流電的相量表示法

一個正弦量可以用三角函數形式表示，也可以用波形圖表示。但在分析和計算交流電路時，經常遇到同頻率正弦量的加、減運算，而直接應用三角函數式或波形來運算卻很麻煩。因此，有必要尋找使正弦量運算更簡便的方法。下面介紹的正弦量相量表示法將為分析、計算正弦交流電路帶來極大方便。

3.2.1 正弦量的旋轉矢量表示

設有一正弦量i=I_msin(ωt+φ)，它可以用一個旋轉矢量來表示。在直角坐標系中作一有向線段，其長度等于該正弦量的最大值I_m，矢量與橫軸正向的夾角等于正弦量的初相角φ，該矢量逆時針方向旋轉，其旋轉的角速度等于該正弦量的角頻率ω。那么這個旋轉矢量任一瞬時在縱軸上的投影，就是該正弦函數i在該瞬時的數值正弦量用旋轉矢量表示如圖3-6所示。

當ωt=0時，矢量在縱軸上的投影為i₀=I_msinφ；當ωt=ωt₁時，矢量在縱軸上的投影為i₁=I_msin(ωt+φ₁)，如此等等。這個旋轉矢量具備了正弦量的三要素，說明正弦量可以用一個旋轉矢量來表示。

對于一個正弦量可以找到一個與其對應的旋轉矢量，反之一個旋轉矢量也都有一個對應的正弦量，他們之間有著一一對應關系。但正弦量和旋轉矢量不是相等關系，正弦量是時間的函數，而旋轉矢量則不是，因而不能說旋轉矢量就是正弦量。

3.2.2 復數及復數的運算

1.復數

直角坐標系如圖3-7所示，以橫軸為實軸，單位為+1，縱軸為虛軸，單位為+j。稱為虛數單位（數學中虛數單位用i表示，而電路中i已用來表示電流，為避免混淆而改用j）。

實軸和虛軸構成的平面稱為復平面。復平面上任何一點對應一個復數，同樣一個復數對應復平面上的一個點。復數的一般式為

式中，a稱為復數的實部，b稱為復數的虛部，式（3-9）稱為復數的直角坐標式，又稱復數的代數表達式。

復數也可以用復平面上的有向線段來表示，如圖3-7中的有向線段A，它的長度r稱為復數的模，它與實軸之間的夾角φ稱為復數輻角，它在實軸和虛軸上的投影分別為復數的實部a和虛部b。由圖可得

a=r cosφ

b=rsinφ

因此，式又可寫成

此式稱為復數的三角式。

根據歐拉公式

e ^jφ=cosφ+jsinφ

復數A還可寫成指數形式，即

為了簡便，工程上又常寫成極坐標形式

2.復數的運算

1）復數的加減。進行復數相加（或相減），要先把復數化為代數形式。

設有兩個復數

A₁=a₁+jb₁

A₂=a₂+jb₂

則有

即復數的加減運算就是把它們的實部和虛部分別相加減。

2）復數的乘除。復數的乘除運算，一般采用指數形式或極坐標形式。

設有兩個復數

即復數相乘時，將模相乘，指數相加或輻角相加；復數相除時，將模相除，指數相減或輻角相減。

3）旋轉因子。

復數的模等于1、輻角等于φ。任意復數乘以e ^jφ得

即復數的模不變，輻角變化了φ，此時復數向量按逆時針方向旋轉了角。所以稱e^jφ為旋轉因子。

使用最多的旋轉因子是e ^j90°=j和e^-j90°=-j。任何一個復數乘以j（或除以j），相當于將該復數向量按逆時針（順時針）旋轉90°。而乘以-j（或除以-j）相當于將該復數向量按順時針（逆時針）旋轉90°。

3.2.3 正弦量的相量表示法

1.正弦量的相量

由上所述，正弦量可以用矢量表示，矢量又可以用復數表示，因而，正弦量必然可以用復數表示。用復數表示正弦量的方法稱為正弦量的相量表示法。

在直角坐標中繞原點不斷旋轉的矢量可以表示正弦交流電。用旋轉矢量的長度表示正弦量的最大值；旋轉矢量的旋轉角速度表示正弦量的角頻率；用旋轉矢量的初始位置與橫軸的夾角表示正弦量的初相位。通常規定，按逆時針方向而成的角度為正值。旋轉矢量用最大值符號U_m或I_m表示。

為了和一般的復數相區別，規定用大寫字母上面加黑點“·”表示。

例如，正弦電流i=I_msin（ωt+φ）的相量表示為

稱為最大值相量。

正弦交流電的大小通常用有效值來計量，通常使相量的模等于正弦量的有效值，這樣正弦電流i=I_msin（ωt+φ）可表示為

稱為有效值相量，電流的有效值相量如圖3-8所示。

【例3-4】已知交流電壓，，試寫出它們的相量式。

解：，

【例3-5】已知電壓相量，電流相量，它們的角頻率 ω=314rad/s。試寫出它們對應的解析式。

解：，

2.相量圖

研究多個同頻率正弦交流電的關系時，可按各正弦量的大小和初相，用矢量畫在同一坐標的復平面上，稱為相量圖。圖3-2所示的電流和電壓兩正弦量波形圖可用圖3-9所示相量圖表示。

作相量圖時要注意：

1）只有同頻率的正弦量才能畫在一個相量圖上，不同頻率的正弦量不能畫在一個相量圖上，否則無法比較和計算。

2）在同一相量圖上，相同單位的相量，要用相同的尺寸比例繪制。

3）作相量圖時，可以取最大值，也可用有效值畫出。因為有效值已被廣泛使用，有效值的相量用大寫字母表示。畫有效值相量圖時，相量的長度等于有效值。

4）正弦交流電用相量表示以后，對于同頻率正弦量的加、減運算就可以按矢量的加、減運算法則進行，也可以用矢量合成的平行四邊形法則進行。

思考與練習

1.正弦電壓分別為，，并寫出u的瞬時值表達式。

2.同頻率的正弦電流i₁、i₂的有效值分別為30A、40A。問：

1）當i₁、i₂的相位差為多少時，i₁+i₂的有效值為70A？

2）當i₁、i₂的相位差為多少時，i₁+i₂的有效值為10A？

3）當i₁、i₂的相位差為90°時，i₁+i₂的有效值為多少？