3.1 正弦交流電的基本概念

1.正弦交流電

一個直流理想電壓源U_S作用于線性電路時，電路中的電壓U和電流I都不隨時間變化，稱為直流電量。如果一個正弦交流電壓源U_s作用于線性電路，則電路中的電壓u和電流i也將隨時間按正弦規律變化。這種隨時間按正弦規律周期性變化的電壓和電流稱為正弦電量。隨時間按正弦規律變化的交流電稱為正弦交流電。

2.正弦量的三要素

正弦量的特征表現在其變化的快慢、大小及初始值3個方面，而它們分別由頻率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位來確定。所以頻率、幅值和初相位就稱為正弦量的三要素。

下面以電流為例介紹正弦量的基本特征。依據正弦量的概念，設某電路中正弦電流i在選定參考方向下的瞬時值表達式為

正弦電流波形圖如圖3-1所示。

（1）頻率與周期

正弦量變化一次所需的時間（秒）稱為周期T，如圖3-1所示。每秒變化的次數為頻率f，它的單位是赫茲（Hz）。

頻率和周期互為倒數，即

在我國和大多數國家都采用50Hz（有些國家如美國、日本等采用60Hz）作為電力標準頻率。這種頻率在工業上應用廣泛，習慣上稱為工頻。常用的交流電動機和照明負載都用這種頻率。

正弦量變化的快慢除用周期和頻率表示外，還可用角頻率來表示，它的單位是弧度每秒（rad/s）。角頻率是指交流電在1s內變化的電角度。正弦量每經過一個周期T，對應的角度變化了2π弧度，所以

（2）瞬時值、最大值和有效值

正弦交流電隨時間按正弦規律變化，某時刻的數值和其他時刻的數值不一定相同。把任意時刻正弦交流電的數值稱為瞬時值，用小寫字母表示，如i、u、e分別表示電流、電壓及電動勢的瞬時值。瞬時值有正有負，也可能為零。

最大的瞬時值稱為最大值（也稱為幅值、峰值），用帶下標“m”的大寫字母表示。如I_m、U_m、E_m分別表示電流、電壓及電動勢的最大值。最大值雖然有正有負，但習慣上最大值都以絕對值表示。

正弦電流、電壓和電動勢的大小常用有效值來表示。為了便于區分，用大寫字母I、U、E分別表示電流、電壓及電動勢的有效值。

有效值是根據電流的熱效應定義的，即某一交流電流i與另一直流電流I在相同時間內通過一只相同電阻R時，所產生的熱量如果相等，那么這個直流電流I的數值就定義為交流電的電流的有效值。

設交流電流在一個周期內通過某一電阻R所產生的熱量為

某一直流電I在相同時間內通過同一電阻R所產生的熱量為

Q_DC=I²RT

若兩者相等，則

由上式得

這就是交流電的有效值。

由此可知，交流電的有效值就是它的方均根值。

設i=I_msintω代入式（3-4）得

同理，交流電壓的有效值

交流電電動勢的有效值

由此可見，交流電的有效值是它最大值的0.707倍。

通常所講的交流電壓或電流的大小（如交流電壓220V）就是指它的有效值。交流電機和電器的銘牌上所標的額定電壓和額定電流都是指有效值，一般的交流電壓表和電流表的讀數也是指有效值。

【例3-1】已知u=U_msintω，式中U_m=310V，f=50Hz。求電壓有效值U和t=0.1s時的瞬時值。

解：由電壓最大值和有效值的關系得

u=U_msinωt=310sin 2π×50×0.1=0

（3）初相位

交流電是時間的函數，在不同的時刻有不同的值。由正弦交流電的一般表達式（以電流為例）i=I_msin（ωt+φ）可知，在不同的時刻（ωt+φ）也不同，（ωt+φ）代表了正弦交流電變化的進程，稱為相位角，簡稱為相位。

t=0時的相位角稱為初相位角，簡稱為初相位。式（3-1）中的φ就是這個電流的初相角。規定初相角的絕對值不能超過π。

由式（3-1）及波形圖可以看出，正弦量的最大值（有效值）反映正弦量的大小，角頻率（頻率、周期）反映正弦量變化的快慢，初相位角反映正弦量的初始位置。因此，當正弦交流電的最大值（有效值）、角頻率（頻率、周期）和初相位角確定時，正弦交流電才能被確定。也就是說這三個量是正弦交流電必不可少的要素，所以稱其為正弦交流電的三要素。

【例3-2】某正弦電壓的最大值U_m=310V，初相位φ_u=30°；某正弦電流的最大值I_m=28.2A，初相位_iφ=-60°。它們的頻率均為50Hz，試分別寫出電壓、電流的瞬時值表達式并畫出波形圖。

解：電壓瞬時值表達式為

u=U_msin(ωt+φ_u)

=310sin(2πft+φ_u)

=310sin(314t+30 )°

電流瞬時值表達式為

i=I_msin(ωt+φ_i)

=28.2sin(314t-60°)

電壓、電流的波形圖如圖3-2所示。

【例3-3】某交流電壓u=310sin(314t+30 )°V，試寫出它的最大值、角頻率和初相位，并求有效值和t=0.1s時的瞬時值。

解：由u=310sin(314t+30 )°V得

U_m=310V，ω=314rad/s，φ=30°

U=0.707U_m=0.707×310V≈220V

u=310sin（314×0.1+30°）

=310sin（10π+30°）

=155V

（4）相位差

在一個正弦交流電路中，電壓u和電流i的頻率是相同的，但初相位不一定相同，如圖3-3所示。圖中u和i的波形可表示為

u=U_msin(ωt+φ_u)

i=I_msin(ωt+φ_i)

它們的初相位分別為φ_u和φ_i。

兩個同頻率正弦量的相位角之差或初相位角之差，稱為相位差，用φ表示。圖3-3中電壓u和電流i的相位差為

由圖3-3的正弦波形可見，因為u和i的初相位不同，所以它們的變化步調不一致，即不是同時到達正的幅值或零值。圖中，φ_u＞φ_i，所以u較i先到達正的幅值。這時

φ=φ_u-φ_i＞0

說明在相位上u比i超前φ角，或者說i比u滯后φ角。

同理，φ=φ_u-φ_i＜0，說明在相位上u比i滯后φ角，或者說i比u超前φ角。

φ=φ_u-φ_i=0，說明u和i同相位或稱同相，u和i同相位如圖3-4所示。φ=φ_u-_iφ=±π，說明u和i相位相反或稱反相，u和i反相位如圖3-5所示。

當兩個同頻率的正弦交流電計時起點（t=0）改變時，它們的相位和初相位也隨之變化，但是兩者的相位差始終不變。在分析計算時，一般也只需考慮它們的相位差，并不在意它們各自的初相位。為了簡單起見，可令其中一個正弦量為參考正弦量，即把計時起點選在使得這個正弦量的初相位為零，其他正弦量的初相位則可由它們與參考正弦量的相位差推出。

如例3-2中所表達的u和i，當選i為參考量，即令i的初相位φ_i=0，則u的初相位為φ_u=90°-0°=90°，這時電流電壓的表達式分別為

i=28.2sinωt

u=310sin(ωt+90 )°

當選取u為參考正弦量時，即令u的初相位φ_u=0，則i的初相位φ_i=-90°-0°=-90°，這時電流和電壓的表達式分別為

u=310sinωt

i=28.2sin(ωt-90 )°

思考與練習

1.已知u₁=310sin(314t+30 )°V，u₂=380sin(314t-60 )°V，試寫出它們的最大值、有效值、相位、初相位、角頻率、頻率、周期及兩正弦量的相位差，并說明哪個量超前。

2.已知某正弦電壓的最大值為310V，頻率為50Hz，初相位為45°，試寫出函數式，并畫出波形圖。