3.3 正弦交流電路的分析與計算

電阻元件、電感元件與電容元件都是組成電路模型的理想元件。所謂理想元件就是突出元件的主要電磁性質，而忽略其次要因素。如電阻元件具有消耗電能的性質（電阻性），其他的電磁性質如電感性、電容性等忽略不計。同樣，對電感元件，突出其通過電流要產生磁場而儲存磁場能量的性質（電感性），對電容元件，突出其加上電壓要產生電場而儲存電場能量的性質（電容性）。電路的參數不同，其性質就不同，其中能量的轉換關系也不同。

3.3.1 單一參數的正弦交流電路

1.純電阻電路

在交流電路中，電阻起主要作用，電感L和電容C均可忽略不計的電路稱為純電阻電路。白熾燈、電爐和電暖器等都可認為是純電阻電路。

（1）電壓與電流的關系

圖3-10所示為一電阻元件的交流電路，由于元件為線性元件，電路中電壓和電流在圖示正方向下服從歐姆定律，即

u=iR

為了分析方便，假設電流i的初相位等于零，則

并以此為參考相量，故

式（3-19）說明，電阻元件上的電壓也按正弦規律變化，它的最大值與電流的最大值成正比，頻率和初相角均與電流相同，其波形如圖3-12所示。

對于正弦交流電路中的電阻電路（又稱為純電阻電路），一般結論如下：

1）電壓、電流均為同頻率的正弦量。

2）電壓與電流初相位相同，即兩者同相。

3）電壓與電流的有效值成正比。

U_m=I_mR

U=IR

上述結論可用相量形式表示為

式（3-20）是電阻元件歐姆定律的相量形式，電阻電路相量圖如圖3-11所示。

（2）功率關系

在任一瞬間，電壓的瞬時值u與電流瞬時值i的乘積，稱為瞬時功率，用小寫字母p表示，即

由式（3-21）可知，瞬時功率由兩部分組成，第一部分是常量UI，第二部分是幅值為UI并以角頻率為2ω隨時間而變化的交變量UIcos 2ωt。p隨時間而變化的波形如圖3-12b所示。

在電阻交流電路中，由于u與i是同相位的，所以瞬時功率總是正的，這表明具有電阻元件的交流電路總是從電源取用電能，它在一個周期內取用的電能為

這相當于在圖3-12b中，功率波形與橫軸所包圍的那塊面積。

通常衡量元件消耗的功率，可取瞬時功率在一個周期內的平均值，稱為平均功率或有功功率，用大寫字母P來表示。那么，在電阻元件上消耗的平均功率為

可見，有功功率不隨時間變化，這與直流電路中計算電阻元件的功率在形式上是一樣的。式（3-22）中的U和I分別表示正弦電壓、電流的有效值。

【例3-6】電路中電阻R=2Ω，正弦電壓u=10sin(314t-60°)V，試求通過電阻的電流的相量。

解：電壓相量為

電流的相量為

2.純電感電路

在圖3-13所示的交流電路中，線圈的電阻忽略不計，這種電路可稱為純電感電路。

（1）電壓與電流的關系

圖3-13所示的電路中，線性電感元件中的自感電動勢為

設流入的交流電流為

i=I_msinωt

根據KVL得

式（3-23）說明，電感電壓也是正弦量，且與電流同頻率，但在相位上電壓超前電流90°。在大小關系上

U_m=I_mωL

由上式可知，當ω一定時，電感兩端的電壓有效值正比于電流。當ω=0時，電感電壓恒為零，即電感元件在直流電路中相當于短路；當ω趨于∞時，電感元件的作用相當于開路元件。

由上述討論，可得出關于電感元件的一般結論：

1）電感元件中的電壓和電流均為同頻率的正弦量。

2）電感元件的電壓超前于電流90°，波形如圖3-14a所示。

3）電壓與電流的有效值關系為

令

X_L=ωL=2πfL

則

從式（3-25）可知，電壓一定時，X_L越大，電流越小。可見X_L具有阻礙電流的性質，所以稱X_L為電感電抗，簡稱為感抗。

當ω的單位用弧度/秒（rad/s）、L的單位用亨利（H）（簡稱為亨）時，X_L的單位為歐姆（Ω）（簡稱為歐）。

若用相量形式來表示，則

式（3-26）中的jX_L可視為電感參數的復數形式，該式說明了電壓、電流的有效值之比等于感抗，同時也說明了電壓超前于電流90°的相位關系，如圖3-14a所示。

電感電路的相量圖如圖3-15所示。

（2）功率關系

電感交流電路中的瞬時功率關系為

可見，電感電路中的瞬時功率是幅值為UI、并以2ω的角頻率隨時間變化的正弦量。如圖3-14b所示。電感電路中的瞬時功率正負交替變化的原因，是因為電感線圈是一個儲能元件，當電流增加時，線圈中磁場能量增加，它從電源取用能量，其功率為正。當電流減小時，線圈中磁場能量也減小，由于電路中沒有耗能元件，磁場釋放的能量全部回送給電源，故p為負。也就是說雖然電路中有電壓，也有電流，僅從一個周期的整體效果來看，它既不消耗電能，也不輸出電能，這一點可以從平均功率得到驗證。

上式說明，在電感元件的交流電路中，沒有任何能量消耗，只有電源與電感元件之間的能量交換，其能量交換的規模用無功功率Q來衡量，它的大小等于瞬時功率的幅值。即

無功功率的計量單位為乏（var）或千乏（kvar）。

需要注意的是，無功功率并非無用功率，例如后面要討論的變壓器、交流電動機等電氣設備需要依靠磁場傳遞能量，而其中電感性負載與電源之間的能量互換規模就得用無功功率來描述。

【例3-7】已知1H的電感線圈接在10V的工頻電源上，求：

1）線圈的感抗；

2）設電壓的初相位為零，求電流；

3）無功功率。

解：1）感抗

X_L=ωL=2πf L=2π×50×1Ω≈314Ω

2）設電壓初相位為零度，則電流

3）無功功率

Q_L=U_LI_L=10×0.032var=0.32var

3.純電容電路

（1）電壓與電流的關系

線性電容元件在圖3-16所示的關聯方向的條件下

假定u_C=U_msinωt

則

式（3-29）說明，電容兩端加上正弦交流電壓后，電容中的電流也是同頻率的正弦量，但在相位上超前于電壓90°，或者說電壓落后于電流90°。

根據式（3-29）令

I_m=U_mωC

則

令，則

X_C稱為容抗，它反比于通過電容元件的電流的頻率和電容元件的電容量。當ω的單位用弧度/秒（rad/s），電容C的單位用法拉（F）（簡稱為法）時，X_C的單位為歐姆（Ω）。

當電容元件加上直流電壓時（ω=0）時，電容電流恒為零，相當于開路元件，也就是說電容元件有隔斷直流電的作用。當電容元件被施加一定頻率的交流電壓時，由于電壓的變化，電容極板上的電荷也發生增減，電荷的增減使得電容中有交變的電流流過，ω越高，電容極板上的電荷變化也就越快，電流也就越大，當ω趨于∞時，電容元件可用短路元件來替代。

據此，可得出電容元件電壓與電流關系的結論：

1）電容元件兩端的電壓及流過電容中的電流均為同頻率的正弦量。

2）電容元件上電壓滯后于電流90°的相位角。

3）電壓與電流的有效值關系為

電容元件上電壓，電流關系的相量形式為

電容電路相量圖如圖3-17所示。

式（3-32）中，-jX_C可以看作電容參數的復數形式。

（2）功率關系

電容元件交流電路的瞬時功率為

可見，電容元件中的瞬時功率是幅值為UI、以2ω為角頻率隨時間而變化的交變量。這是因為電容是一個儲能元件，當電容電壓增高時，電容中的電場能量（W_C=Cu²/2）將增加，它將從電源獲取電能，則p>0；當電容電壓降低時，電容中電場能量減小，而將剩余的能量送回給電源，則p<0。電容電路波形圖如圖3-18所示。

電容元件在交流電路中的平均功率為

與電感元件一樣，電容元件也不消耗任何能量，在電容元件與電源之間只有能量變換，其互換的規模與電感電路一樣，用無功功率Q來表示，該值等于瞬時功率的幅值，即

Q_C=UI=I²X_C

為了同電感元件電路的無功功率相比較，同樣設通入電容元件的電流為

i=I_msinωt

則

u=U_msin(ωt-90 )°

于是得出瞬時功率

p=ui=-UIsin 2ωt

由此可見，電容元件電路的無功功率

即電容性無功功率取負值，而電感性無功功率取正值。

【例3-8】某電容元件的電壓和電流取關聯參考方向，已知，，。試求：

1）在工頻下的電容值C；

2）電路中電源頻率為f′=100Hz時的電流。

解：1）由已知條件有

所以

2）電容的容抗

ω=2πf=2×3.14×100rad/s=628rad/s

所以

3.3.2 多參數組合的正弦交流電路

在實際電路中經常有多種元件，而RLC串聯的形式是最簡單，也是最基本的電路模型，RLC串聯電路如圖3-19所示。

1.RLC串聯電路電壓電流關系

（1）瞬時關系

由于電路是串聯的，所以流過R、L、C的電流相同。于是

設，則

（2）相量關系

設為參考相量，則

式中，Z=R+jX稱為復阻抗。X=X_L-X_C稱為電抗。

復阻抗是一個復數，它的實部是電阻，虛部是電抗。復阻抗的模就是阻抗的大小，復阻抗的輻角就是電壓和電流的相位差φ。

式=與直流電路的歐姆定律有相似形式，稱為正弦交流電路的歐姆定律相量式。

2.電壓三角形與阻抗三角形

由

Z=R+jX=R+j(X_L-X_C)

得

由R、X和復阻抗的模|Z|構成阻抗三角形，如圖3-20所示。輻角φ稱為阻抗角。

由阻抗三角形

X=X_L-X_C

X=|Z|sinφ

R=|Z|cosφ

由

φ=φ_u-_iφ

可見，復阻抗的模|Z|等于電壓的有效值與電流的有效值之比。輻角φ等于電壓與電流的相位差。

由可畫出電壓三角形，如圖3-21所示。

U_X=Usinφ

U_R=U cosφ

顯然，電壓三角形是阻抗三角形各邊乘以而得，所以這兩個三角形是相似三角形。但要注意的是電壓三角形的各邊是相量，而阻抗三角形的各邊不是相量。電壓與電流的相位差φ就是復阻抗的阻抗角。

3.電路參數與電路性質關系

由上式看出，當電流頻率一定時，電路的性質（電壓與電流的相位差）由電路參數決定（R、L、C）。電路參數與電路性質的關系：

1）若X_L＞X_C，即φ>0，表示電壓u超前電流i一個φ角，電感的作用大于電容的作用，這種電路稱為感性電路。

2）若X_L＜X_C，即φ＜0，表示電壓u滯后電流i一個φ角，電感的作用小于電容的作用，這種電路稱為容性電路。

3）若X_L=X_C，即φ=0，表示電壓u與電流i同相位，電感的作用與電容的作用互相抵消，這種電路稱為電阻性電路，又稱為串聯諧振。

4.RLC串聯電路的功率

（1）瞬時功率和平均功率

RLC串聯電路所吸收的瞬時功率為

p=ui=(u_R+u_L+u_C)i

=u_Ri+u_Li+u_Ci

=p_R+p_L+p_C

由于電感和電容不消耗能量，所以電路所消耗的功率就是電阻所消耗的功率。所以電路在一周內的平均功率為

由電壓三角形可知

U_R=U cosφ

所以

式中，λ=cosφ為功率因數，平均功率P又稱為有功功率。

使用上式注意：P≠U²/R，而是；P≠UI而是P=U_RI=UI cosφ。

（2）視在功率

電路中電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率，即

視在功率的單位為伏安（VA），工程上常用千伏安（kVA）。

視在功率并不代表電路中實際消耗的功率，它常用于標稱電源設備的容量。因為，發電機、變壓器等電源設備實際供給負載的功率要由實際運行中負載的性質和大小來定，所以，在電源設備的銘牌上只能先根據額定電壓、額定電流標出視在功率以供選用。

（3）無功功率

在RLC串聯電路中，由于L與C的電流、電壓相位相反，所以電感與電容的瞬時功率符號也始終相反，即當電感吸收能量時，電容正在釋放能量；反之亦然。兩者能量相互補償的差值才是與電源交換的能量，所以電路的無功功率應為

由電壓三角形可知

U_X=Usinφ

（4）功率三角形

由P=UIcosφ，Q=UIsinφ及S=UI可知，有功功率P、無功功率Q和視在功率S也組成一個直角三角形，稱為功率三角形，如圖3-22所示。顯然

功率三角形也可由阻抗三角形各邊乘以I²而得，因此功率三角形、電壓三角形、阻抗三角形是相似三角形。

3.3.3 復阻抗的串并聯

在正弦交流電路中，任意一個由RLC構成的無源二端網絡，其兩端的電壓相量和電流相量之比為二端網絡的復阻抗，復阻抗用大寫Z表示，無源二端網絡如圖3-23所示。二端網絡的復阻抗為

根據這個定義，電阻的復阻抗為R，電感的復阻抗為jωL，電容的復阻抗為，RLC串聯的復阻抗為Z=R+j(X_L-X_C)。

1.復阻抗的串聯

圖3-24為已知復阻抗Z₁、Z₂串聯的電路。

（1）等效復阻抗

令Z₁、Z₂串聯的等效復阻抗為Z，則

即兩個復阻抗串聯的等效復阻抗等于兩個串聯的復阻抗的和。

由此推論：

幾個復阻抗串聯的等效復阻抗等于這幾個復阻抗的和。

需要注意的是復阻抗是復數，求等效復阻抗的運算一般情況下是復數運算。串聯復阻抗的模一般不等于兩個復阻抗模相加，即|Z|≠|Z₁|+|Z₂|。

（2）復阻抗串聯的分壓關系

在圖中，若已知Z₁、Z₂、，則

同理

這就是復阻抗串聯的分壓關系。由此推論：

N個復阻抗的串聯分壓關系

2.復阻抗的并聯

圖3-25所示為已知復阻抗Z₁和Z₂并聯的電路。

（1）等效復阻抗

令Z₁、Z₂并聯的等效復阻抗為Z，則

由此推論：

n個復阻抗的并聯等效復阻抗的倒數等于并聯的各個復阻抗的倒數和，即

需要注意的是，復數運算中一般。

（2）復阻抗并聯的分流關系

在圖中，若已知Z₁、Z₂、，則

同理可得

這就是復阻抗并聯的分流關系。

【例3-9】有一RC并聯電路，已知R=1kΩ，C=1μF，ω=1000rad/s，求等效復阻抗。

解：

容抗

3.3.4 功率因數的提高

在交流電路中，有功功率P=UI cosφ，式中cosφ為電路的功率因數。前面曾提到，功率因數僅取決于電路（負載）的參數，對電阻性負載（如白熾燈、電阻爐等）來說，由于電壓、電流同相，其功率因數為1。除此之外，功率因數為0～1。在生產實際中，用電設備大多屬于電感性負載，如電動機、電磁開關、感應爐以及熒光燈等。它們的功率因數比較低，交流異步電動機在輕載運行時，功率因數一般為0.2～0.3，在額定負載運行時，功率因數也只為0.8左右。

當電壓與電流之間有相位差時，即功率因數不等于1時，電路中發生能量互換，出現無功功率Q=UIsinφ。這樣就引起兩個問題，一是使發電設備的容量不能充分利用；二是輸電線路效率降低。為提高發電及供電設備的利用率，減少輸電線上的功率損耗，應提高功率因數。

1.提高功率因數的方法

提高功率因數的很多，常用的辦法是在電感性負載的兩端并聯電容器，并聯電容提高功率因數如圖3-26所示，這種電容器稱為補償電容。

設負載的端電壓為，在未并聯電容時，電感性負載中的電流

當并聯上電容后，不變，而電容支路的電流

故線路電流

提高功率因數相量圖如圖3-27所示。

2.注意

采用并聯電容器提高功率因數，需要注意以下幾點：

1）并聯電容器以后，不影響原來負載的正常工作。所謂提高功率因數，是指提高電源或電網的功率因數，不是指提高負載的功率因數。

2）電容器本身不消耗功率。

3）并聯電容器以后，提高了功率因數。減少了電源與負載之間的能量互換。這時電感性負載所需的無功功率，大部分或全部都是由電容器就地供給，就是說能量的互換主要或完全發生在電感性負載與電容器之間，因而使發電機容量能得到充分利用。

3.并聯電容的選取

設未并聯電容時電源提供的無功功率，即感性負載所需的無功功率為

并聯電容后電源向感性負載提供的無功功率為

并聯電容后電容補償的無功功率為

|Q_C|

=Q-Q′=P(tan₁φ-tanφ)

由于

所以

【例3-10】某電源S_N=20kVA，U_N=220V，f=50Hz，試求：

1）該電源的額定電流；

2）該電源若供給cosφ₁=0.5，40W的熒光燈，最多可點多少盞？此時線路的電流是多少？

3）若將電路的功率因數提高到cosφ=0.9，此時線路的電流是多少？需并聯多大的電容？

解：1）額定電流

2）設熒光燈的盞數為n，即

nP=S_Ncos₁φ

此時線路的電流為額定電流，即I₁=91A。

3）因電路的總的有功功率

P=n×40=250×40W=10kW

故此時線路的電流為

隨著功率因數由0.5提高到0.9，線路的電流由91A下降到50.5A。

因cosφ₁=0.5，φ₁=60°，tanφ₁=1.732，cosφ=0.9，φ=25.8°，tanφ=0.483，于是所需電容器的電容量為

3.3.5 電路中的諧振

諧振是電路中可能發生的一種特殊現象。諧振一方面在工業生產中有廣泛的應用，例如工業中的高頻淬火、高頻加熱、收音機和電視機的調諧選頻等都是利用諧振特性；另一方面諧振有時會在某些元器件中產生大電壓或大電流，致使元器件受損或破壞電力系統的正常工作，此時應極力避免。

在既有電容又有電感的電路中，當電源的頻率和電路的參數符合一定條件時，電路的總電壓和總電流同相，整個電路呈電阻性，這種現象稱為諧振。諧振時，由于電壓和電流的夾角為零，所以總的無功功率為零，此時電容中的電場能和電感中的磁場能相互轉換，此增彼減，完全補償。電場能和磁場能的總和時刻保持不變，電源不必與負載往返轉換能量，只需供給電路中的電阻所消耗的電能。

由于電路有串聯和并聯兩種基本形式，所以諧振也分串聯和并聯兩種。

1.串聯諧振電路

RLC串聯諧振電路如圖3-28所示。它的復阻抗為

Z=R+jX=R+j(X_L-X_C)

當X_L=X_C時，電路呈現電阻性質，即發生串聯諧振。

（1）諧振條件

由于X_L=X_C

可見，當電路參數LC為一定位時，電路產生的諧振頻率就為一定值，所以f₀又稱為諧振電路的固有頻率。

因此，使串聯電路發生諧振有兩種方法，一是當電源頻率f一定時，改變電路參數L或C，使之滿足式（3-50）；二是當電路參數不變時，改變電源頻率，使之與電路的固有頻率f₀相等。改變電路參數使電路發生諧振的過程又稱為調諧。

（2）諧振特征

1）電流電壓同相位，電路呈電阻性，RLC串聯諧振相量圖如圖3-29所示。

2）阻抗最小，電流最大。諧振時電抗為零，故阻抗最小，其值為

Z=R+jX=R

這時電路中的電流最大，稱為諧振電流，其值為

圖3-30所示為阻抗和電流隨頻率變化的曲線。

3）電感兩端電壓與電容端電壓大小相等，相位相反。電阻端電壓等于外加電壓。

諧振時電感端電壓與電容端電壓相互補償，這時，外加電壓與電阻上的電壓相平衡。即

4）電感和電容的端電壓有可能大大超過外加電壓。

諧振時電感或電容的端電壓與外電壓的比值為

當X_L＞＞R時，電感和電容的端電壓就大大超過外加電壓，二者的比值Q稱為諧振電路的品質因數，它表示在諧振時電感和電容的端電壓是外加電壓的Q倍。Q值一般可達幾十至幾百，因此串聯諧振又稱為電壓諧振。

2.并聯諧振電路

諧振也可能發生在并聯電路中，下面以電感與電容并聯電路為例來討論并聯諧振。

如將一電感線圈與電容器并聯，當電路參數選擇適當時，可使總電流與外加電壓同相位，就稱這電路發生了并聯諧振。

由于線圈是有電阻的，所以實際電路可看成RL串聯后與C并聯，并聯諧振如圖3-31所示。

（1）諧振條件

RL支路電流

電容C支路的電流

故總電流

此式表明，若要使電路中電流與外加電壓同相位，則需的虛部為零，即

在一般情況下，線圈的電阻R很小，線圈的感抗ωL＞＞R，故

故諧振頻率

即當線圈的電阻R很小，線圈的感抗ωL＞＞R時，并聯諧振與串聯諧振的條件基本相同。

（2）諧振特征

1）電流電壓同相位，電路呈電阻性，并聯諧振相量圖如圖3-32所示。

2）阻抗最大，電流最小。諧振電流為

3）電感電流與電容電流幾乎大小相等，相位相反。

4）電感或電容支路的電流有可能大大超過總電流。

電感支路（或電容支路）的電流與總電流之比為電路品質因數，其值為

即通過電感或電容支路的電流是總電流的Q倍。Q值一般可達幾十到幾百，故并聯諧振又稱為電流諧振。

思考與練習

1.已知R=10Ω的理想電阻，接一交流電壓，試寫出通過該電阻的電流瞬時值表達式，并計算其消耗的功率。

2.某線圈的電感L=255mH，電阻忽略不計，已知線圈兩端電壓，試計算線圈的感抗，寫出通過線圈電流的瞬時值表達式并計算無功功率。

3.容量C=0.1μF的純電容接于頻率f=50Hz的交流電路中，已知電流為，試計算電容的容抗，并寫出電容兩端電壓的瞬時值表達式并計算無功功率。

4.在RLC串聯電路中，已知R=X_L=X_C=10Ω、I=1A，求電路兩端電壓的有效值是多少？

5.電路如圖3-33所示，已知R=1Ω、X_C=X_L=1Ω，試計算電路的阻抗Z_ab。

6.電路如圖3-34所示，電流表A₁、A₂的讀數分別為6A和8A，試判斷下列情況下Z₁、Z₂各為何種參數？

1）電流表A的讀數為10A。

2）電流表A的讀數為14A。

3）電流表A的讀數為2A。

7.在感性負載兩端并聯上補償電容后，線路的總電流、總功率以及負載電流有沒有變化？

8.在感性負載兩端并聯上補償電容可以提高功率因數，是否并聯的電容越大，功率因數提高得越快？