2.1.2　通信圖的基本矩陣

對于由n個個體組成的MAS系統，其有向圖的近鄰矩陣={a_ij}為n×n維矩陣，其中，如果（v_i，v_j）∈ε，則a_ij>0，否則a_ij=0。無向圖的鄰接矩陣的定義與此類似，不同之處在于，對于所有i≠j，a_ij=a_ji，因此無向圖的臨接矩陣為對稱矩陣。注意，a_ij代表邊（v_i，v_j）的權重，如果通信圖與權重無關，則當（v_i，v_j）∈ε時，取a_ij=1。節點v_i的入度和出度分別定義為和，如果，則稱節點v_i為平衡的，如果圖中任意節點v_i都滿足，則稱該圖為平衡圖。對于無向圖，因為為對稱矩陣，所以，無向圖均為平衡圖。

定義矩陣，其中，

注意，如果（v_j，v_i）?ε，則l_ij=-a_ij=0，所以矩陣滿足

對于無向圖，為對稱陣，通常被稱為拉普拉斯矩陣（Laplacian matrix），而對于有向圖，常被稱為有向拉普拉斯矩陣（directed Laplacian matrix）。另外，還有一種常用的定義方法，=-，其中，=［d_ij］∈?p×p為出度矩陣，d_ij滿足：

接下來，用一個具體實例來說明這些矩陣的含義，如圖2-2所示，其鄰接矩陣、出度矩陣和Laplacian矩陣分別為：

圖2-2　有向圖實例