1.4　穩(wěn)定性理論

接下來(lái)，對(duì)本書需要用到的穩(wěn)定性分析理論進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。對(duì)于自治系統(tǒng)，通常會(huì)用到LaSalle不變集定理，首先對(duì)不變集的定義進(jìn)行說(shuō)明。

定義1.1：考慮自治系統(tǒng)

　　（1-24）

式中，f（x）在定義域?p上為光滑的、連續(xù)的和Lypschitz的。如果集合S滿足：對(duì)于=f（x），x（0）∈S?x（0）∈S，?t≥0，則稱S為正不變集。

接下來(lái)，給出LaSalle定理［122］。

引理1.1：假設(shè)x=0為系統(tǒng)式（1-24）的平衡點(diǎn)，D∈?p為包含x=0的區(qū)域。令緊致集Ω∈D為系統(tǒng)式（1-24）的正不變集。設(shè)W（x）：D→?為連續(xù)可微函數(shù)，當(dāng)x∈Ω時(shí)，W（x）滿足（x）≤0。令E為Ω中所有滿足（x）=0的點(diǎn)的集合，假設(shè)S為E中的最大不變集，則當(dāng)t→∞時(shí)，所有由Ω起始的解都收斂于S。

對(duì)于如下非自治系統(tǒng)

　　（1-25）

其中，f（t，x）在定義域?p上為光滑的、連續(xù)的和Lypschitz的。這里，引理1.1不再適用，對(duì)于非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析要相對(duì)復(fù)雜一些，通常會(huì)用到Barbalat定理，接下來(lái)對(duì)其進(jìn)行介紹。

引理1.2：如果函數(shù)Φ：?→?在定義域［0，∞）上一致連續(xù)。假設(shè)Φ（）d存在并且是有界的，于是可得當(dāng)t→∞時(shí)，Φ（t）→0。

引理1.2的詳細(xì)證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)［122］中的引理8.2。