1.4　穩定性理論

接下來，對本書需要用到的穩定性分析理論進行簡要介紹。對于自治系統，通常會用到LaSalle不變集定理，首先對不變集的定義進行說明。

定義1.1：考慮自治系統

　　（1-24）

式中，f（x）在定義域?p上為光滑的、連續的和Lypschitz的。如果集合S滿足：對于=f（x），x（0）∈S?x（0）∈S，?t≥0，則稱S為正不變集。

接下來，給出LaSalle定理［122］。

引理1.1：假設x=0為系統式（1-24）的平衡點，D∈?p為包含x=0的區域。令緊致集Ω∈D為系統式（1-24）的正不變集。設W（x）：D→?為連續可微函數，當x∈Ω時，W（x）滿足（x）≤0。令E為Ω中所有滿足（x）=0的點的集合，假設S為E中的最大不變集，則當t→∞時，所有由Ω起始的解都收斂于S。

對于如下非自治系統

　　（1-25）

其中，f（t，x）在定義域?p上為光滑的、連續的和Lypschitz的。這里，引理1.1不再適用，對于非自治系統的穩定性分析要相對復雜一些，通常會用到Barbalat定理，接下來對其進行介紹。

引理1.2：如果函數Φ：?→?在定義域［0，∞）上一致連續。假設Φ（）d存在并且是有界的，于是可得當t→∞時，Φ（t）→0。

引理1.2的詳細證明過程可參考文獻［122］中的引理8.2。