1.3.1　時間延遲

在實際的MAS系統中，受到通信傳輸速度、傳感器測量、執行器時間等因素的影響，時間延遲通常難以避免，而且可能會對系統穩定性產生影響，所以時延問題一直是MAS協調控制領域的研究熱點。時間延遲被分為兩類：通信時延和自時延［60］。通信時延是指個體在進行信息傳遞時，信息接收方需要經過一定的時間滯后才能接收到鄰居個體發出的信息。自時延是指個體本身由于狀態計算、執行器反應或者其他原因導致的自身狀態延遲。這里以系統式（1-1）為例，給出含通信時延和自時延的控制算法，假設存在通信時延T_ij>0，則分布式協調律為：

　　（1-22）

自時延通常與通信時延同時存在，假設自時延為_i>0，則控制律變為：

　　（1-23）

針對一階、二階積分器系統和非線性系統，大量文獻對時間延遲問題進行了研究，例如文獻［11］、［61-80］等，研究內容主要集中在時間延遲對于不同MAS系統穩定性的影響，較之于線性系統，對于非線性系統的研究難度更大一些。對于大部分控制協議，需要解決的主要問題是找到時延的約束條件，從而使系統的穩定性不受到破壞。研究發現，就對系統穩定性影響程度大小的角度來看，自時延更甚于通信時延［67］。目前，對于時延常用的研究方法主要包括：收縮理論［61］，矩陣理論［62］，頻域分析法［64］，［67］、Lyapunov函數類方法［65］，無源性理論［72-80］等。

在多EL系統協調控制領域，對于時延的研究主要集中在通信時延上，研究構架主要有三類：無源性理論、小增益理論和收縮理論。接下來，按照這三種構架對目前的研究成果進行分析和總結。

（1）無源性理論

無源性的概念可從能量的角度進行理解，如果一個系統輸出的能量不大于外界對其注入的能量，則稱該系統為無源性系統。也就是說，一個無源性系統可以向外界輸出的能量必然不大于自身從外界獲取的能量。無源性系統有一個重要的特點：兩個具有反饋或者平行關系的無源性系統組成的聯合系統仍然具有無源性［73］。Chopra等［75］運用無源性理論對一類含通信時延的非線性MAS系統的同步問題進行了研究，并將此結果應用在雙邊遙操作問題上［76］。在此基礎上，Spong等［77］進一步將結果推廣到了多個EL系統協調控制中，在靜態通信拓撲條件下，得到了含有恒定時延的分布式一致性算法，并運用Lyapunov-Krasovskii函數方法對系統的穩定性進行了證明。但文獻［77］中EL方程動力學方程參數均需精確已知，Min等［78］ 則利用自適應控制技術，對含有不確定參數情況下的多EL系統一致性問題進行了研究。同樣，利用Lyapunov-Krasovskii函數方法，解決了既含有未知參數又含有通信時延情況下的多EL系統一致性問題，但文獻中要求通信拓撲為平衡圖。針對更為一般的有向通信拓撲圖，基于無源性理論，文獻［80］將其前期關于遙操作系統的研究結果［79］推廣到了多EL系統，并將leadless一致性和leader-following一致性放在同一構架下進行考慮，結合頻域分析方法和Lyapunov-Krasovskii函數方法，設計了容許通信時延的協調控制器，該控制器同時可實現對動態領航者的跟蹤，但此時要求所有個體都知道領航者的位置和速度信息，因此，在動態跟蹤問題上，此控制器本質上并不是真正意義上的分布式控制器。與文獻［80］相比，文獻［81］在無源性理論構架下，將航天器姿態轉換為EL方程，運用LMI方法和Lyapunov方法等，對通信時延問題進行了研究，同時提出了一種不同于文獻［80］的分布式動態跟蹤算法。另外，需要指出的是，Münz等［82］針對更為一般的含時延非線性MAS系統，設計了一種非線性控制器，即控制器中加入了一個無源性的平滑奇函數，而將相鄰個體的狀態差作為該函數的自變量，這樣的設計降低了對系統無源性的要求，只要求各個體滿足局部無源性，而不需要全局無源性，其研究結果也可直接移植到非線性的EL系統中。

（2）小增益理論

小增益理論主要應用于由多個子系統級聯構成的復雜系統，通過非線性魯棒設計，從而使整個系統實現穩定性，是一種非常強大的理論分析工具。用小增益理論分析MAS系統控制問題主要有兩方面優勢：第一，放寬了對通信拓撲的要求，基于無源性理論的結果通常要求通信拓撲為無向圖或者平衡的有向圖，而小增益理論只要求通信圖為最常見的連通有向圖；第二，適合分析更為復雜的時延類型，小增益理論可用來分析MAS系統中時變的或者非連續的通信時延，并且不要求時延的有界性，具有更廣的應用范圍。Polushin等［83，84］首先將小增益理論應用于協同遙操作（cooperative teleoperation）系統，其研究結果基于一種類似輸入-輸出穩定（IOS， Input-to-Output Stability）的假設，即弱輸入-輸出實際穩定（WIOPS， Weakly Input-to-Output Practically Stability）假設。WIOPS假設和IOS假設的不同之處在于，IOS假設系統存在一個一致衰減的輸出估計，而WIOPS無此要求。基于相同構架，文獻［85］和［86］對含有不規則時延的多EL系統的無領航者一致性問題進行了研究，運用多維WIOPS小增益定理對系統穩定性進行了分析，同時采用自適應控制技術，對系統動力學方程含有未知參數的情況進行了考慮，設計了分布式自適應一致性算法，該算法允許未知通信時延的存在。

（3）收縮理論

收縮理論實際上是更為一般意義上的Krasovskii定理［87］，相比于Lyapunov線性化方法，收縮理論在研究非線性系統時具有較大的優勢。比如，對于局部穩定性的分析，Lyapunov方法需要進行微分近似，而收縮理論分析則是精確的，不需要近似，所以可以得到全局指數收斂的結果。Wang等［88］首先將收縮理論運用到了含時延的MAS協調控制問題上，同時基于“波”變量技術，分別對連續系統和離散系統進行了研究，通過對一個“微分段”（differential length）求導，并結合Barbalat定理，對系統穩定性進行了證明。研究表明，系統的收斂性與通信時延的大小沒有關系。Chung等［89］針對衛星編隊任務，將衛星轉動方程和平動方程轉換為EL方程，類似于文獻［88］的思路，對含時延的衛星編隊問題進行了算法設計，并運用收縮理論對系統穩定性進行了證明。需要指出的是，目前基于收縮理論的文獻中要求各個體具有相同的結構，對于異構系統還有待于進一步研究。