3.2　湍流的數值模擬方法

湍流流動是一種高度非線性的復雜流動，但人們已經能夠通過某些數值方法對湍流進行模擬，所得結果與實際比較吻合。本節將簡要介紹湍流的各種數值模擬方法。

3.2.1　湍流數值模擬方法的分類

總體而言，目前的湍流數值模擬方法可以分為直接數值模擬法（Direct Numerical Simulation，DNS）和非直接數值模擬法。所謂直接數值模擬法是指直接求解瞬時湍流控制方程式（3.1）和式（3.2）；而非直接數值模擬法就是不直接計算湍流的脈動特性，而是設法對湍流作某種程度的近似和簡化處理，例如，采用3.1部分給出的時均性質的Reynolds方程就是其中一種典型做法。根據所采用的近似和簡化方法不同，非直接數值模擬法分為大渦模擬法（Large Eddy Simulation，LES）、統計平均法和Reynolds平均法（RANS）。湍流數值模擬法分類如圖3.2所示。

統計平均法是基于湍流相關函數的統計理論，主要用相關函數及譜分析的方法來研究湍流結構，統計理論主要涉及小尺度渦的運動，這種方法在工程上應用不廣泛。下面簡要介紹直接數值模擬法（DNS）、大渦模擬法（LES）、Reynolds平均法。

3.2.2　直接數值模擬法

DNS法就是直接用瞬時的N-S方程式（3.2）對湍流進行計算。DNS法的最大好處是無須對湍流流動作任何簡化或近似，理論上可以得到相對準確的計算結果。

但是，實驗研究表明，在一個0.1m×0.1m的流動區域內，在大雷諾數的湍流中可能包含尺度有10～100μm的渦，一般需要高達109～1012個計算網格節點數來描述所有尺度的渦。同時，湍流脈動的頻率約為10kHz，因此，必須將時間的離散步長取為100μs以下。在如此微小的空間和時間步長下，才能分辨出湍流中詳細的空間結構及變化劇烈的時間特性。對于這樣的計算要求，現有的計算機能力還是難以達到的。DNS法對內存空間及計算速度的要求非常高，目前還無法用于真正意義上的工程計算，但大量的探索性工作正在進行之中。

隨著計算機技術，特別是并行計算技術的飛速發展，有可能在不遠的將來將這種方法用于實際工程計算。

3.2.3　大渦模擬法

為了模擬湍流流動，一方面要求計算區域的尺寸應大到足以包含湍流運動中出現的最大渦，另一方面要求計算網格的尺度應小到足以分辨最小渦的運動。然而，就目前的計算機能力來講，能夠采用的計算網格的最小尺度仍比最小渦的尺度大許多。因此，目前只能放棄對全尺度范圍上渦的運動的模擬，只將比網格尺度大的湍流運動通過N-S方程直接計算出來，對于小尺度的渦對大尺度運動的影響則通過建立模型來模擬，從而形成了目前的LES法。

LES法的基本思想：用瞬時N-S方程式（3.2）直接模擬湍流中的大尺度渦，不直接模擬小尺度渦，而小渦對大渦的影響通過近似的模型來考慮。

總體而言，LES法對計算機內存及CPU速度的要求仍比較高，但低于DNS法。目前，在工作站和高檔PC上已經可以開展LES工作。LES方法是目前CFD研究和應用的熱點之一，具體將在后面介紹這種方法。

3.2.4　Reynolds平均法

多數觀點認為，雖然瞬時的N-S方程可以用于描述湍流，但N-S方程的非線性使得采用解析方法精確描寫三維瞬態問題的全部細節極端困難，即使能真正得到這些細節，對于解決實際問題也沒有太大的意義。因為從工程應用的觀點上看，湍流所引起的平均流場的變化是一個整體的效果。因此，人們很自然地想到求解時均化的N-S方程，而將瞬態的脈動量通過某種模型在時均化的方程中體現出來，由此產生了Reynolds平均法。Reynolds平均法的核心是不直接求解瞬時的N-S方程，而是想辦法求解時均化的Reynolds方程式（3.13）。這樣，不僅可以避免DNS方法的計算量大的問題，而且對工程實際應用可以取得很好的效果。Reynolds平均法是目前使用最為廣泛的湍流數值模擬方法。

由于時均化的Reynolds方程式（3.13）簡稱為RANS，因此，Reynolds平均法也稱為RANS法。

考察Reynolds方程式（3.13）可以看出，方程中有關于湍流脈動值的Reynolds應力項，這屬于新的未知量。因此，要使方程組封閉，必須對Reynolds應力做出某種假設，即建立應力的表達式（或引入新的湍流模型方程），通過這些表達式或湍流模型，把湍流的脈動值與時均值等聯系起來。由于沒有特定的物理定律可以建立湍流模型，所以目前的湍流模型只能以大量的實驗觀測結果為基礎。

根據對Reynolds應力做出的假設或處理方式不同，目前常用的湍流模型有Reynolds應力模型和渦黏模型兩大類。下面分別介紹這兩類湍流模型。

3.2.4.1　Reynolds應力模型

在Reynolds應力模型方法中，直接構建Reynolds應力方程，然后聯立求解式（3.12）～式（3.14）及新建立的Reynolds應力方程。通常情況下，Reynolds應力方程是微分形式的，稱為Reynolds應力方程模型。若將Reynolds應力方程的微分形式簡化為代數方程的形式，則稱這種模型為代數應力方程模型。這樣，Reynolds應力方程模型包括Reynolds應力方程模型和代數應力方程模型。后續內容將分別介紹這兩種模型。

3.2.4.2　渦黏模型

在渦黏模型方法中，不直接處理Reynolds應力項，而是引入湍流黏度，或稱渦黏系數，然后把湍流應力表示成湍流黏度的函數，整個計算的關鍵在于確定這種湍流黏度。

湍流黏度的提出來源于Boussinesq提出的渦黏假設，該假設建立了Reynolds應力相對于平均速度梯度的關系，即

　　（3.16）

　　（3.17）

式中　μ_t——湍流黏度；

u_i、u_j——時均速度；

x_i、x_j ——笛卡爾坐標；

δ_ij——Kronecker delta（克羅內克δ）符號（當i=j時，δ_ij=1；當i≠j時，δ_ij=0）；

k——湍動能。

湍流黏度μ_t是空間坐標的函數，取決于流動狀態，而不是物性參數。下標“t”表示湍流流動。

由此可見，引入Boussinesq假設后，計算湍流流動的關鍵就在于如何確定μ_t。所謂的渦黏模型，就是把湍流黏度μ_t與湍流時均參數聯系起來的一種關系式。根據確定湍流黏度的微分方程數目的多少，渦黏模型包括零方程模型、一方程模型、二方程模型。

目前，二方程模型在工程中使用最為廣泛，最基本的二方程模型是標準k-ε模型，即分別引入關于湍動能k和耗散率ε的方程。此外，還有各種改進的k-ε模型，比較著名的是RNG（Renormalization Normal Group，重正化群）k-ε模型和Realizable k-ε模型。對此，將在后面內容分別介紹這些渦黏模型。