3.1　湍流及其數(shù)學(xué)描述

3.1.1　湍流流動(dòng)的特征

流體實(shí)驗(yàn)表明，在臨界雷諾數(shù)以下時(shí)，流動(dòng)是平滑的，相鄰的流體層彼此有序地流動(dòng)，如果施加的邊界條件不隨時(shí)間變化，流動(dòng)是定常的，這種流動(dòng)稱為層流。在臨界雷諾數(shù)以上時(shí)會(huì)發(fā)生一系列復(fù)雜的變化，并導(dǎo)致流動(dòng)特征的急劇變化，流動(dòng)呈無序的混亂狀態(tài)；這時(shí)，即使施加定常的邊界條件，流動(dòng)也是非定常的，速度等流動(dòng)特性都隨機(jī)變化，這種狀態(tài)稱為湍流。在湍流狀態(tài)下在某一點(diǎn)測(cè)得的速度隨時(shí)間的變化情況如圖3.1所示。可以看出，速度值的脈動(dòng)性很強(qiáng)。湍流中的脈動(dòng)現(xiàn)象對(duì)工程設(shè)計(jì)有直接影響，壓力的脈動(dòng)增大了建筑物上承受的風(fēng)載的瞬時(shí)載荷，有可能引起建筑物的有害振動(dòng)；對(duì)于水輪機(jī)而言，脈動(dòng)壓力最大的負(fù)波峰則增加了發(fā)生空化的可能性。

實(shí)驗(yàn)研究表明，湍流帶有旋渦流動(dòng)結(jié)構(gòu)，這就是所謂的湍流渦（簡(jiǎn)稱渦）。從物理結(jié)構(gòu)上看，可以把湍流看成是由各種不同尺度的渦疊合而成的流動(dòng)，這些渦的大小及旋轉(zhuǎn)軸的方向分布是隨機(jī)的。大尺度的渦主要由流動(dòng)的邊界條件所決定，其尺寸可以與流場(chǎng)的大小相比擬，它主要受慣性影響而存在，是引起低頻脈動(dòng)的原因；小尺度的渦主要是由黏性力所決定，其尺寸可能只有流場(chǎng)尺度的千分之一的量級(jí)，是引起高頻脈動(dòng)的原因。大尺度的渦破裂后形成小尺度的渦，較小尺度的渦破裂后形成更小尺度的渦。在充分發(fā)展的湍流區(qū)域內(nèi)，流體渦的尺寸可在相當(dāng)寬的范圍內(nèi)連續(xù)變化。大尺度的渦不斷地從主流獲得能量，通過渦間的相互作用，能量逐漸向小尺寸的渦傳遞。最后由于流體黏性的作用，小尺度的渦不斷消失，機(jī)械能就轉(zhuǎn)化（或稱耗散）為流體的熱能。同時(shí)由于邊界的作用、擾動(dòng)及速度梯度的作用，新的渦旋又不斷產(chǎn)生，這就構(gòu)成了湍流運(yùn)動(dòng)。流體內(nèi)不同尺度的渦的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)造成了湍流的一個(gè)重要特點(diǎn)——物理量的脈動(dòng)（圖3.1）。

3.1.2　湍流的基本方程

一般認(rèn)為，無論湍流運(yùn)動(dòng)多么復(fù)雜，非穩(wěn)態(tài)的連續(xù)方程和N-S方程對(duì)于湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)仍然是適用的。在此，考慮不可壓流動(dòng)，使用笛卡爾坐標(biāo)系，速度矢量u在x、y和z方向的分量為u、v和w，可以寫出湍流瞬時(shí)控制方程：

　　（3.1）

　　（3.2）

為了考察脈動(dòng)的影響，目前廣泛采用的方法是時(shí)間平均法，即把湍流運(yùn)動(dòng)看作由兩種流動(dòng)疊加而成：一是時(shí)間平均流動(dòng)；二是瞬時(shí)脈動(dòng)流動(dòng)。這樣，將脈動(dòng)分離出來，便于處理和進(jìn)一步的探討。現(xiàn)引入Reynolds平均法，任意變量?的時(shí)間平均值（時(shí)均值）定義為

　　（3.3）

式中，?的上劃線“-”代表對(duì)時(shí)間的平均值。

如果用上標(biāo)“'”代表脈動(dòng)值，物理量的瞬時(shí)值?、時(shí)均值及脈動(dòng)值?'之間有如下關(guān)系：

　　（3.4）

采用時(shí)均值與脈動(dòng)值之和代替流動(dòng)變量的瞬時(shí)值，即

　　（3.5）

將式（3.5）代入瞬時(shí)狀態(tài)下的連續(xù)方程式（3.1）和動(dòng)量方程式（3.2），并對(duì)時(shí)間取平均，得到湍流時(shí)均流動(dòng)的控制方程：

　　（3.6）

　　（3.7a）

　　（3.7b）

　　（3.7c）

對(duì)于其他變量?的輸運(yùn)方程作類似處理，可得

　　（3.8）

在上述各方程中，假設(shè)流體密度為常數(shù)，但在實(shí)際流動(dòng)中密度可能是變化的。在此，忽略密度脈動(dòng)的影響，只考慮平均密度的變化，可以寫出可壓湍流平均流動(dòng)的控制方程（為方便起見，除脈動(dòng)值的時(shí)均值外，下式中去掉了表示時(shí)均值的上劃線符號(hào)“-”，如用?來表示）。

（1）連續(xù)方程

　　（3.9）

（2）動(dòng)量方程

　　（3.10）

（3）其他變量的輸運(yùn)方程

　　（3.11）

式（3.9）是時(shí)均形式的連續(xù)方程，式（3.10）是時(shí)均形式的N-S方程。由于在式（3.3）中采用雷諾（Reynolds）平均法，因此，式（3.10）稱為Reynolds時(shí)均N-S方程，又稱為Reynolds方程。式（3.11）是場(chǎng)變量?的時(shí)均輸運(yùn)方程。

為了便于后續(xù)分析，現(xiàn)引入張量中的指標(biāo)符號(hào)改寫式（3.9）～式（3.11），則有如下方程：

　　（3.12）

　　（3.13）

　　（3.14）

式（3.12）～式（3.14）就是用張量的指標(biāo)形式表示的時(shí)均連續(xù)方程、Reynolds方程和場(chǎng)變量?的時(shí)均輸運(yùn)方程。式中i和j的指標(biāo)取值范圍是（1，2，3）。

式（3.13）里多出與有關(guān)的項(xiàng)為Reynolds應(yīng)力項(xiàng)，即

　　（3.15）

式中，τ_ij實(shí)際對(duì)應(yīng)6個(gè)不同的Reynolds應(yīng)力項(xiàng)，即3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)切應(yīng)力。

由式（3.12）～式（3.14）構(gòu)成的方程組共有5個(gè)方程（Reynolds方程實(shí)際是3個(gè)），在新增了6個(gè)Reynolds應(yīng)力，再加上原來的5個(gè)時(shí)均未知量（u_x、u_y、u_z、p和?），共有11個(gè)未知量，因此，方程組不封閉，必須引入新的湍流模型（方程）才能使方程組式（3.12）～式（3.14）封閉。