3.3　零方程模型及一方程模型

3.2部分提出了在Reynolds平均法中如何處理Reynolds應力項的若干湍流模型，本節介紹最簡單的零方程模型及一方程模型。

3.3.1　零方程模型

所謂零方程模型，是指不使用微分方程，而是用代數關系式，把湍流黏度與時均值聯系起來的模型。它只用湍流的時均連續方程式（3.12）和Reynolds方程式（3.13）組成方程組，把方程組中的Reynolds應力用平均速度場的局部速度梯度來表示。

零方程模型方案有多種，最著名的是普朗特（Prandtl）提出的混合長度模型。Prandtl假設湍流黏度μ_t與時均速度u_i的梯度和混合長度l_m的乘積成正比。例如，在二維問題中則有：

　　（3.18）

湍流切應力表示為：

　　（3.19）

式中，混合長度l_m由經驗公式或實驗確定。

混合長度模型的優點是直觀、簡單，對于如射流、混合層、擾動和邊界層等帶有薄的剪切層的流動效果比較有效，但由于混合長度l_m在簡單流動中比較容易確定，而在復雜流動中則很難確定，而且也不能用于模擬帶有分離回流的流動，因此零方程模型在實際工程中很少使用。

3.3.2　一方程模型

在零方程模型中，湍流黏度μ_t和混合長度l_m都把Reynolds應力和當地平均速度梯度相聯系，是一種局部平衡的概念，而忽略了對流和擴散的影響。為了彌補混合長度模型的局限性，在湍流的時均連續方程式（3.12）和Reynolds方程式（3.13）基礎上，再建立一個湍動能k的輸運方程，并將湍流黏度μ_t表示成湍動能k的函數，而使方程組封閉。這里，湍動能k的輸運方程可寫為：

　　（3.20）

式（3.20）從左至右，各項依次為瞬態項、對流項、擴散項、產生項、耗散項。根據Kolmogorov-Prandtl表達式，有：

　　（3.21）

式中　σ_k、C_D、C_μ——經驗常數，多數文獻建議σ_k=1.0、C_μ=0.09；對于C_D的取值，在不同的文獻中取值不同，一般取為0.08～0.38；

l——湍流脈動的特征長度，依據經驗公式或實驗而定。

式（3.20）與式（3.21）構成一方程模型。一方程模型考慮到湍動的對流輸運和擴散輸運，因而比零方程模型更為合理。但是，一方程模型中如何確定特征長度l仍為不易解決的問題，因此很少在工程中得到應用。