1.5.7 戴維南定理

電路分析的基本方法——支路電流法和節點電位法，都必須把電路中所有的支路電流或節點電位都求出來，才能得到某條支路的電壓或電流，不能單獨求解某條支路。但很多時候，對電路進行分析，只需要對一條支路進行分析，求得該支路上的電流或電壓，并不要求分析整個電路。為了避免求解復雜的方程組，提出了以待求支路為外部電路，將電路除去該支路后剩下的電路網絡等效為電源模型的分析方法，以提高局部電路分析的效率，這種方法統稱為電源等效原理。這里的等效是指對外部電路等效，即剩下的網絡用電源模型來代替，不改變外部電路兩端的電壓，或不改變外部電路的電流。將剩下的電路網絡等效為電壓源模型的分析方法，稱為戴維南定理；將剩下的電路網絡等效為電流源模型的分析方法，稱為諾頓定理。

為了方便描述，需要引入三個概念：二端網絡、無源二端網絡及有源二端網絡。以圖1.51所示電路為例，說明這三個概念。

1）二端網絡：有且僅有兩個接線端的電路網絡。二端網絡是電路中的一部分電路，與外界只有兩個接線端點。電路圖中，一般用小圓圈來表示接線端點。在圖1.51所示電路中，如果沿著點畫線將電路看成兩個部分，則兩個部分的電路網絡都只有兩個接線端，如圖1.52所示，那么就得到兩個二端網絡（見圖1.52a和b），它們的接線端點是a和b。

二端網絡可以是電路中的一部分網絡，表示具有兩個端口的一部分電路，是一種特定的電路網絡，并不是要把這部分網絡從電路中分離開才是二端網絡。

二端網絡也可以是具有兩個接線端點的獨立電路。

2）無源二端網絡：不含有電源的二端網絡。如圖1.52a所示，該二端網絡不含任何電源，只有電阻，所以是無源二端網絡。

3）有源二端網絡：含有電源的二端網絡。如圖1.52b所示，該二端網絡含有電壓源和電流源，所以是有源二端網絡。

對任意無源二端網絡，可以表示成圖1.53a所示形式；對任意有源二端網絡，可以表示成圖1.53b所示形式。

有源二端網絡還可以分為線性有源二端網絡和非線性有源二端網絡。線性有源二端網絡是指完全由線性元件、獨立電源或線性受控電源構成的有源二端網絡；否則，該有源二端網絡就為非線性有源二端網絡。

由電阻和直流電源構成的電路是線性電路。由電阻和直流電源構成的有源二端網絡就是線性有源二端網絡。

戴維南定理：任意一個線性有源二端網絡，對外部電路來說，可以等價成一個理想電壓源串聯一個電阻的電壓源模型。該電壓源模型中理想電壓源的電壓等于有源二端網絡兩個接線端的開路電壓；串聯的電阻等于將有源二端網絡變為無源二端網絡后，從兩個接線端點看過去，該無源二端網絡的等效電阻。

戴維南定理的等效示意圖如圖1.54所示。圖中，將一個有源二端網絡等效成了一個電壓源模型，即一個理想電壓源與一個電阻的串聯電路。有源二端網絡就是內部電路，接在a、b兩個接線端之間的電路稱為外部電路。戴維南定理指出：理想電壓源的電壓E等于a、b兩點之間開路時，有源二端網絡的開路電壓U_ab；串聯電阻R₀等于將有源二端網絡變為無源二端網絡后，從a、b兩點看過去，該無源二端網絡的等效電阻。

將有源二端網絡變為無源二端網絡是指，令有源二端網絡中的所有電源都不起作用，得到一個二端網絡，該二端網絡是無源二端網絡。令所有電源不起作用是指，令電壓源兩端的電壓為0，即將電壓源短路，令電流源的電流為0，即將電流源開路。

根據戴維南定理得到有源二端網絡的等效電壓源模型后，可以用等效電壓源模型代替該有源二端網絡，放回到該有源二端網絡所在的電路中，就可以很方便地求解接線端a、b之間外部電路的電壓和電流了。

用戴維南定理分析電路的步驟如下：

1）將電路分成待求支路和有源二端網絡兩部分。在待求支路上或待求元件兩端取兩點a和b。將a、b間待求支路或待求元件所在網絡作為外部電路，將a、b間另一部分電路作為有源二端網絡。

2）求出有源二端網絡的開路電壓U_ab。將a、b間的外部電路移開，得到開路的有源二端網絡。對此開路的有源二端網絡，求a、b兩點間的電壓U_ab。

3）求無源二端網絡的等效電阻R₀。對2）中開路的有源二端網路，令其內部的所有電源均不起作用，即電壓源短路、電流源開路，得到對應的無源二端網絡。從a、b兩點看過去，求此無源二端網絡的電阻R₀。

4）畫出有源二端網絡的等效電壓源，并將移開的外部電路移回來，接到對應的a點和b點，得到與原電路等效的簡化電路，再運用歐姆定律或基爾霍夫定律求外部電路的電流或電壓。理想電壓源的電動勢E＝U_ab，串聯的電阻為R₀。需要注意的是，電動勢E參考方向的“+”在靠近點a的那一端，“－”在靠近點b的那一端。

【例題1.15】如圖1.55所示電路，已知E₁＝16V，E₂＝8V，R₁＝R₂＝2Ω，R＝5Ω。試運用戴維南定理求流過電阻R的電流I。

解答：

1）在待求電阻R兩端取兩點a和b，以a、b為界，可以將原電路分為待求支路和有源二端網絡兩部分。如圖1.56所示，點a和點b左邊的電路就是有源二端網絡，右邊的電路就是待求支路，作為有源二端網絡的外部電路。

2）求有源二端網絡的開路電壓U_ab。將點a和點b之間的外部電路移開，得到a、b間開路的有源二端網絡，如圖1.57所示。在電路中，只有一個回路，列回路電壓方程可得

求得I₁＝2A。對右邊的開口回路列回路電壓方程可得

3）求對應無源二端網絡的等效電阻R₀。將2）中開口的有源二端網絡，令網絡中電源都不起作用，得到對應的無源二端網絡，這里只需將電壓源E₁和E₂短路即可，如圖1.58所示。從a、b兩點看過去，此無源二端網絡的等效電阻即是R₀。求得

4）畫出有源二端網絡的等效電壓源，理想電壓源電動勢E＝U_ab＝12V，串聯電阻R₀＝1Ω。注意電動勢E的參考方向，其“+”在靠近a點的那一端，“－”在靠近b點的那一端。

將移開的外部電路移回來，接到對應的a點和b點，得到與原電路等效的簡化電路，如圖1.59所示。對圖1.59所示電路求電流I，顯然非常簡單，即有

求得I＝2A。

【例題1.16】如圖1.60所示電路，已知E＝70V，R₁＝5Ω，R₂＝20Ω，R₃＝42Ω，R₄＝7Ω，R₅＝13Ω。試運用戴維南定理求電阻R₅中的電流I₅。

解答：

1）在待求電阻R₅兩端取兩個點a和b，將電路分為有源二端網絡和待求支路（即有源二端網絡的外部電路），如圖1.61所示。

2）將待求支路移開，得到a、b間開路的有源二端網絡，如圖1.62所示。求得

3）令2）中有源二端網絡的電源都不起作用，即電壓源短路、電流源開路，變為對應的無源二端網絡，如圖1.63所示。求得a、b兩點間的等效電阻為

4）畫出有源二端網絡的等效電壓源，電壓源的電動勢U_S＝U_ab＝46V，串聯的電阻R₀＝10Ω。將移開的待求支路移回來，接到對應的a點和b點，如圖1.64所示。于是求得流過電阻R₅的電流I₅為