1.5.6 疊加定理

對線性電路，可以采用疊加定理來進行電路分析。運用疊加定理，將會使多電源共同作用的復雜電路，變為單電源作用的簡單電路。所謂線性電路，是指由獨立電源或受控線性電源與線性元件構成的電路。所謂線性受控電源是指受控電源的電壓或電流，與控制源的電壓或電流呈線性關系。所謂線性元件是指元件兩端的電壓U與電流I呈線性關系（即U＝aI+b，這里a、b為常數，且a≠0）的電路元件。特別地，如果某個電路元件，在實數空間，其上的電壓和電流不成線性關系，是非線性元件，不能運用疊加定理進行電路分析，但在相量空間（參見本書第2章），其上的電壓與電流呈線性關系，則在相量空間，該元件是線性元件，可以運用疊加定理進行電路分析。

在電路分析中，稱電源的電流或電壓為激勵，因為它們是使電路工作的原因，稱電路負載上的電壓或電流為響應，因為它們是電源供電產生的結果。按照激勵和響應的概念，線性電路的顯著特點是，響應是激勵的線性組合，也即是負載上的電壓或電流，可以表達成電路中所有電源的電壓或電流的線性組合。

電阻就是線性元件。由直流電源和電阻構成的電路是線性電路，可以運用疊加定理進行電路分析。

疊加定理：在有多個電源激勵的線性電路中，電路中任一支路的電流，等于電路中各個電源單獨作用時，在該支路中產生的電流的代數和；電路中任意兩點間的電壓，等于電路中各個電源單獨作用時，在這兩點間產生的電壓的代數和。所謂某個電源單獨作用，是指該電源起作用，而其他電源不起作用。在電路中，對電源不起作用是這樣處理的：電壓源不起作用，就是其輸出電壓為0，即將其兩端短路，或稱對電壓源進行短路處理；電流源不起作用，就是電流源的輸出電流為零，即將電流源兩端斷開，或稱對電流源進行開路處理。注意，電源不起作用，在電路中是只對電源進行處理，不涉及電阻的處理，這里沒有內阻的概念，所提到的電源均指理想電源。

單電源作用的電阻電路，一般可以用電阻的串并聯等效變換來求解。所以，運用疊加定理分析電路時，多配合電阻等效變換法使用。在這樣的單電源電阻電路中，如果電阻不是串并聯連接，那就只能采用支路電流法或節點電位法這種通用方法來求解了。如果是這樣，用疊加定理來分析電路就顯得不夠簡單了，不如放棄使用疊加定理，一開始就直接采用通用方法分析電路。所以疊加定理更適用于元件串并聯連接的線性電路。

運用疊加定理進行電路分析的一般步驟如下：

1）給電路中待求的電流或電壓標上名稱，并標上參考方向，有關系的電壓或電流，其參考方向最好關聯。

2）將各個電源單獨作用的電路圖畫出來。要求標上待求電流名稱或待求電壓名稱，該名稱與原電路對應電流或電壓的名稱最好一樣，通過加上標的方式區別；還要給待求電流或待求電壓標上參考方向，該參考方向最好與原電路中對應電流或電壓的參考方向一致。

3）逐個分析單電源作用的電路，求出待求電流或待求電壓。

4）運用疊加定理，將各個電源單獨作用的結果加起來，就是原電路中對應電流或電壓的結果。

【例題1.13】如圖1.49a所示電路，已知E＝10V，I_S＝4A，R₁＝10Ω，R₂＝R₃＝5Ω。試用疊加定理求流過R₂的電流I₂和理想電流源I_S兩端的電壓U_S。

解答：

1）在圖1.49a中，在原電路中標上了待求電流I₂和待求電壓U_S及其參考方向。

2）畫出了各個電源單獨作用的電路圖。圖1.49b中標出了待求電流I₂和待求電壓U_S，并在其上標處加一撇，表示是第一個電源單獨作用的結果，并且它們的參考方向與原電路中對應電流和電壓的參考方向相同；圖1.49c中標出了待求電流I₂和待求電壓U_S，并在其上標處加兩撇，表示是第二個電源單獨作用的結果，并且它們的參考方向與原電路中對應電流和電壓的參考方向相同。

3）逐個求解單電源電路。在圖1.49b中，求得

在圖1.49c中，求得

4）運用疊加定理，求原電路中的待求量，有

【例題1.14】在圖1.50所示線性電路中，只有兩個電源：一個電壓源和一個電流源，電路中的線性負載以各種方式連接，構成了不含電源的電路網絡，這個網絡稱為線性無源網絡。已知：當E＝1V，I_S＝1A時，開口端的電壓U₀＝5V；當E＝2V，I_S＝3A時，U₀＝12V。那么，當E＝3V，I_S＝10A時，U₀為多少？

解答：根據線性電路的特點可知，電路中的響應是激勵的線性組合。所以有

其中，a和b為常數。

根據題意，將已知量代入式（1.59）可得

解得a＝3，b＝2。

所以U₀與電源的線性關系為

當E＝3V，I_S＝10A時，代入式（1.61）求得