1.5.5 電源等效變換法

在直流電路中，如果有多個電源，且電源以串聯或并聯的方式連接，則可以采用電源等效變換法來分析電路。電源等效變換法的基本思路是，先對電路中不同電源的電源類型進行等效變換，即將電壓源變為電流源，或者將電流源變為電壓源，然后合并電源，使多電源電路變為單電源電路，從而使接下來的電路分析變得簡單。

電源有電流源和電壓源兩種，連接方式有串聯和并聯兩種，兩者兩兩組合就有6種可能：電流源和電流源串聯、電流源和電壓源串聯、電壓源和電壓源串聯、電流源和電流源并聯、電流源和電壓源并聯以及電壓源和電壓源并聯。并聯的電流源才能合并，等效為一個電流源；串聯的電壓源才能合并，等效為一個電壓源。所以，為了可以合并，串聯的電源都要變換為電壓源；并聯的電源都要變換為電流源。這即是電路中電源合并的基本指導思想。

1.實際電源的電路模型

電源可以分為電壓源和電流源。一個理想的電源是沒有內阻的，但是實際電源有內阻。對一個實際電壓源，可采用一個理想電壓源串聯一個電阻來表達，其電路模型如圖1.36所示。

對一個實際電流源，可采用一個理想電流源并聯一個電阻來表達，其電路模型如圖1.37所示。

2.電壓源與電流源的等效變換

電壓源與電流源的等效變換是指，一個電壓源模型可以等效地變為一個電流源模型，反之亦然。這里的等效是指，一個負載，不管是連接在圖1.36所示電壓源模型的a、b兩端，還是連接在圖1.37所示電流源模型的a、b兩端，其兩端的電壓和流過它的電流都是相等的。這即表明，對外部的負載而言，采用電壓源供電和采用電流源供電，其效果是等價的。

設電壓源與電流源具有相同的內阻R₀，它們給外部負載R_L的供電效果是等效的，即R_L兩端的電壓U和流過R_L的電流I是相等的，如圖1.38所示。

對圖1.38中的電壓源電路，根據基爾霍夫電壓定律，對回路列電壓方程得

對圖1.38中的電流源電路，根據基爾霍夫電壓定律，對右邊的網孔列電壓方程可得

比較式（1.47）和式（1.48）可得

這即是電壓源模型與電流源模型的電源等效變換公式。

在將電壓源與電流源等效變換時，電源的內阻沒有變化，只是從與理想電壓源的串聯，變為與理想電流源的并聯；另外，需要注意電壓源電壓參考方向與電流源電流參考方向的對應關系，在電源內部，電流是從“－”端流向“+”端，或電壓沿著電流的方向升高。

3.電源的合并

電源合并有一個前提條件，就是對外部的供電效果不變，即對外部的負載來說，負載兩端的電壓和流過負載的電流不變。這里所講的電源合并，全都是基于這個默認的前提。

（1）電壓源與電壓源串聯的合并

電壓源與電壓源串聯合并為一個電壓源，如圖1.39所示。根據電源合并的默認前提，合并前后a、b端對外輸出電壓U_ab不變，a、b端流過的總電流I不變。

對圖1.39所示電路的開口回路，運用基爾霍夫電壓定律可得

整理可得

這即表明，兩個電壓源串聯合并為一個電壓源，有這樣的關系：

這即是電壓源串聯合并公式。這里，同樣需要注意合并前電壓源參考方向與合并后電壓源參考方向的關系。合并前各電壓源的電壓，如果其參考方向與合并后電壓源電壓的參考方向一致，就在其符號前取“+”，如果不一致，就在其符號前取“－”號，然后求和，就得到合并后電壓源的電壓。如圖1.39所示，電壓源電壓E₁和E₂參考方向與E的參考標得一致，都是上正下負，所以都在其符號前取“+”求和。如果電源E₂的參考方向跟圖中相反，是上負下正，則取－E₂代入求和，得到合并后電壓源的電壓為E＝E₁－E₂。

更進一步，根據基爾霍夫定律很容易驗證得到：電源和電阻交換位置，不影響電源合并結果，如在圖1.39中交換電源E₂和電阻R₂的位置，電源合并結果并不改變；電阻R₁或電阻R₂為0，或者電阻R₁和R₂都為0，也不影響電源合并結果。

（2）電流源與電流源并聯的合并

電流源與電流源合并為一個電流源，如圖1.40所示。根據基爾霍夫電流定律有

根據電源合并的默認前提，由式（1.53）可知

這即是電流源并聯合并公式。這里，同樣需要注意合并前后電源電流參考方向要一致，即流向一致。

同樣地，對合并前的電路，電流源與電阻的位置可以交換，不影響合并結果；對合并前的電路，電阻R₁或R₂可以為0，也可以都為0，這表明電流源沒有內阻，只需把電阻為0的那條支路去掉即可，此時電流源的合并不受影響，還是通過式（1.54）計算。

（3）電壓源與電流源串聯的合并

電源的串聯合并，需要先將所有電源等效變換為電壓源，然后根據電壓源的串聯合并公式計算，見式（1.52）。這里，需要將電流源變換為電壓源，然后與電壓源合并，得到一個電壓源。

整個合并過程如圖1.41所示，結果已經直接表達在圖中了。

（4）電壓源與電流源并聯的合并

電源的并聯合并，需要先將所有電源等效變換為電流源，然后根據電流源的并聯合并公式計算，見式（1.54）。這里，需要將電壓源變換為電流源，然后與電流源合并，得到一個電流源。

整個合并過程如圖1.42所示，合并結果已經直接表達在圖中了。

（5）電壓源與電壓源并聯的合并

這里，需要將電壓源等效變換為電流源，然后根據電流源的并聯合并公式計算，見式（1.54），合并得到一個電流源。

整個合并過程如圖1.43所示，合并結果已經直接表達在圖中了。

（6）電流源與電流源串聯的合并

這里，需要將電流源等效變換為電壓源，然后根據電壓源的串聯合并公式計算，見式（1.52），合并得到一個電壓源。

整個合并過程如圖1.44所示，合并結果已經直接表達在圖中了。

4.特殊電源模型的處理

在電路中，除了電壓源模型和電流源模型的形式，有時還可見到電壓源與電阻并聯，以及電流源與電阻串聯這兩種特殊形式的電源模型。對這兩種特殊的電源模型，從電源等效變換的角度，前者可以等價為理想電壓源，如圖1.45所示，后者可以等價為理想電流源，如圖1.46所示。因為與電壓源并聯的電阻，不會影響電壓源對外輸出的電壓，與電流源串聯的電阻，不會影響到電流源對外輸出的電流。

由圖1.45可見，電壓源E與電阻R并聯。電路中，電阻R的存在與否，不會影響到a、b兩端的電壓，所以電壓源與電阻的并聯，可以直接去掉電阻，等價為理想電壓源。

由圖1.46可見，電流源I_S與電阻R串聯。電阻R的存在與否，不會影響到電流源流入或流出a、b端的電流，所以電流源與電阻的串聯，可以直接短路掉電阻，等價為理想電流源。

【例題1.12】電路如圖1.47所示。其中，E＝10V，I_S＝2A，R₁＝5Ω，R₂＝1Ω，R₃＝2Ω，R₄＝1Ω。請用電源等效變換法，求電阻R₄中的電流I。

解答：該電路中的電源采用的是串聯或并聯的連接方式，所以可以采用電源等效變換法求解。在電阻R₄兩端取兩個端點a和b。點a和點b右邊的網絡，就相當于電源外部的負載電路。點a和點b左邊的電路就是含多個電源的網絡，可以采用等效變換法，將多個電流源合并為一個電源。

電源等效變換法電路分析過程如圖1.48所示，圖中用點畫線橢圓圈住的部分，表示將要進行等效變換的電源模型。圖1.48a中，點畫線圈住的部分是電壓源和電阻并聯構成的電壓源模型，它可以直接變為理想電壓源，如圖1.48b所示。圖1.48b中有一個電壓源、電阻串聯模型，和一個電流源、電阻串聯模型，兩者是并聯關系，所以可以將前者變為電流源模型，后者變為理想電流源，如圖1.48c所示。圖1.48c中是兩個電流源模型，可以直接將理想電流源合并，如圖1.48d。在圖1.48d中，運用電阻并聯的分流公式可得