1.5.4 電阻等效變換法

支路電流法和節(jié)點電位法是電路分析的一般方法，適用于所有的電路分析，但是其計算過程有點復(fù)雜。針對特定的電路，還可以采用特定的分析方法，使電路分析過程變得更為簡潔。比如，針對電路中電阻以串聯(lián)或并聯(lián)方式連接的電路或局部電路，可以采用電阻等效變換法。

電路中的電阻如果是以特定的方式連接，則可以將多個電阻等效變換為一個電阻，從而簡化電路，方便計算。這里，特定的連接方式是指多個電阻以串聯(lián)或并聯(lián)的方式連接。下面分別介紹什么是電阻的串聯(lián)，什么是電阻的并聯(lián)，以及如何進(jìn)行電阻的等效變換和等效變換所具有的性質(zhì)。

1.電阻的串聯(lián)及串聯(lián)等效變換

如果電路中的多個電阻處于一個支路中，則稱這多個電阻的連接方式為串聯(lián)。由于一個支路中的電流處處相等，可見，處于串聯(lián)連接的電阻，其上流過的電流是相等的。

以兩個電阻的串聯(lián)為例，電阻的串聯(lián)及其等效變換如圖1.33所示。其中圖1.33a是電路中的一部分電路，其兩端的電壓為U，流過這條支路的電流為I，在這條支路上有兩個電阻R₁和R₂。

圖1.33所示電路中的兩個電阻R₁和R₂，其連接方式是串聯(lián)?？梢圆捎玫刃ё儞Q的方法，將這兩個電阻合并為一個等效電阻R，如圖1.33b所示。這里的等效是指，變換前點a和點b間的電壓和流過這條支路的電流，分別等于變換后等效電阻兩端的電壓和流過這條支路的電流，也即變換前后，a、b兩端的電壓不變，流過這條支路的電流也不變。對圖1.33a電路的開口回路運用基爾霍夫電壓定律可得

對圖1.33b電路，運用歐姆定律可得

由于等效變換前后U和I不變，比較式（1.36）和式（1.37）可得

這就是兩個電阻串聯(lián)的等效變換法則，即合并后的等效電阻等于合并前各個電阻之和。

對圖1.33a所示電路，由歐姆定律可得U₁＝IR₁，U₂＝IR₂，考慮到式（1.36），可知串聯(lián)的各個電阻，其兩端的電壓與總電壓的關(guān)系為

這即是串聯(lián)電阻的分壓公式。需要注意的是，U₁、U₂的參考方向與總電壓U的參考方向要一致，如圖1.33a所示，它們的“+”端都在上端。

對N（N＞2）個電阻的串聯(lián)，同理可得其等效電阻R和分壓公式分別為

注意，這里的U_i為對應(yīng)電阻R_i兩端的電壓，而且U_i的參考方向與U的參考方向一致。

2.電阻的并聯(lián)及并聯(lián)等效變換

如果電路中的多個電阻都直接連接在電路中的兩個節(jié)點之間，則稱這多個電阻的連接方式為并聯(lián)。由于兩個節(jié)點間的電壓不變，可見，處于并聯(lián)連接的電阻，其兩端的電壓都是相等的。

以兩個電阻的并聯(lián)為例，電阻的并聯(lián)及其等效變換如圖1.34所示。其中圖1.34a是電路中的一部分電路，其兩端的電壓為U，總電流為I，兩條并聯(lián)支路上的電流分別為I₁和I₂，這兩條支路上的電阻分別為R₁和R₂。

圖1.34所示電路中的兩個電阻R₁和R₂，其連接方式是并聯(lián)?？梢圆捎玫刃ё儞Q的方法，將這兩個電阻合并為一個等效電阻R，如圖1.34b所示。這里的等效是指，變換前節(jié)點a、b間的電壓和流過節(jié)點a或b的電流，分別等于變換后等效電阻兩端的電壓和流過等效電阻的電流，也即變換前后，a、b兩端的電壓不變，流過節(jié)點a或b的電流也不變。對圖1.34a所示電路的節(jié)點c運用基爾霍夫電流定律可得

對圖1.34b電路，運用歐姆定律可得

由于等效變換前后U和I不變，比較式（1.41）和式（1.42）可得

這就是兩個電阻并聯(lián)的等效變換法則，即合并后等效電阻的電導(dǎo)，等于合并前各電阻的電導(dǎo)之和。如果采用電導(dǎo)來表示，則式（1.43）可以表達(dá)成

對圖1.34a所示電路，根據(jù)式（1.41），可知對并聯(lián)的各個電阻，流過它們的電流與總電流的關(guān)系為

這即是并聯(lián)電阻的分流公式。需要注意的是，并聯(lián)支路電流I₁、I₂的參考方向與總電流I的參考方向要一致，如圖1.34a所示，它們流向要一致。

對N（N＞2）個電阻的并聯(lián)，同理可得其等效電阻R和分流公式分別為

注意，這里的電流I_i為對應(yīng)電阻R_i所在支路的電流，而且I_i的參考方向與I的參考方向一致，即電流的流向一致。

3.電阻等效變換法在電路分析中的應(yīng)用

串聯(lián)和并聯(lián)是電阻最基本的兩種連接方式，串聯(lián)和并聯(lián)混合在一起，就稱為混聯(lián)電路。對于電阻的混聯(lián)電路，可以用電阻等效變換法來求解。當(dāng)然，除了串聯(lián)和并聯(lián)，電阻還有其他的連接方式，比如三角形聯(lián)結(jié)，這時就不能采用電阻的等效變換法來求解，只能依據(jù)歐姆定律和基爾霍夫定律，采用基本的支路電流法或節(jié)點電位法來求解。

下面用一個例題來展示電阻等效變換法在電路分析中的具體應(yīng)用。

【例題1.11】在圖1.35所示電路中，求電阻R₆兩端的電壓U。

解答：分析該電路可知，電阻全部以串聯(lián)或并聯(lián)的方式連接，是電阻的混聯(lián)電路，采用電阻等效變換法進(jìn)行電路分析。

電路中，點c和點d之間的等效電阻R_cd＝R₄||（R₅+R₆）＝2Ω；點a和點b之間的等效電阻R_ab＝R₂||（R₃+R_cd）＝3Ω。

于是，根據(jù)分壓公式可知，點a和點b之間的電壓U_ab＝E＝24V；點c和點d之間的電壓U_cd＝U_ab＝12V；再次運用分壓公式可得電阻R₆兩端的電壓U＝U_cd＝4V。