3.9　基于恒模的盲波束形成算法

3.9.1　信號模型

考慮由M個陣元構成的陣列天線，接收到不同的信號，經N次采樣后的接收數據模型可以表示為

式中，X是M×N的接收數據矩陣；S是K×N輸入信號矩陣且；是第i個信號的輸入向量；A是M×K的陣列響應矩陣，且有，。是信號的導向向量，，d是陣元間隔，λ是載波波長，是信號的波達角。

不妨設s1是用戶信號，則波束形成算法可以歸納為已知接收數據矩陣X，尋找滿足波束形成方程

的權向量w。這里，是對用戶信號的估計。相應地，天線陣的輸出向量y可以表示為

3.9.2　隨機梯度恒模算法

恒模信號在經歷了多徑衰落、加性干擾或其他不利因素時，會產生幅度擾動破壞信號的恒模特性，因此可以利用恒模陣波束形成器來最大程度地恢復恒模信號，恒模陣波束形成器的結構示意圖如圖3-7所示。這里，恒模陣波束形成器利用恒模算法通過對恒模代價函數的優(yōu)化來恢復恒模用戶信號[46-53,61]，恒模算法定義的代價函數為

其中，p、q是正整數，在實際中取1和2，并相應地記作“CMAp-q”；α是陣列輸出期望信號的幅值。由于恒模算法的代價函數是非線性的，無法直接求解，只能采用迭代的方法逐步逼近最優(yōu)解，一般采用梯度下降法來優(yōu)化恒模代價函數，其迭代公式為

這里，μ>0，是步長因子；?w表示關于w的梯度算子。用瞬時值取代期望值，并取定p、q值，得到

其中，

上述4式以CMA1-2和CMA2-2最為常用。眾所周知，隨機梯度恒模算法的收斂性能很大程度上取決于算法設置的初值和步長因子[54-60]。一般而言，在使用算法之前需要仔細地校正步長，如果步長過小，則收斂速度太慢；若步長過大，則性能容易失調。

3.9.3　最小二乘恒模算法（LS-CMA）

最小二乘恒模算法是Agee[64]提出的，使用了非線性最小二乘（高斯法）的推廣來設計恒模算法。根據高斯法的推廣，令代價函數為

式中，gk(w)為第k個信號的非線性函數，其中k=1,…,K，向量g(w)=[g1(w),g2(w),…,gK(w)]T，則代價函數具有部分Taylor級數展開的平方和的形式：

式中，d是偏差向量，且

代價函數F(w+d)相對于偏差向量d的梯度向量為

令，求出使F(w+d)最小的偏差向量為

將偏差向量d與權向量w(k)相加，可以得到使代價函數最小的新權向量w(k+1)，也就是得到權向量的更新公式

式中，k表示迭代步數。將上式應用恒模函數，即得到最小二乘恒模算法，令代價函數為

比較式（3-95）和式（3-96），知

根據文獻[64]，可以得到權向量更新公式

式中，，。向量y和r分別稱為輸出數據向量和復限幅輸出數據向量。L(y)代表對y的硬限幅運算。

式（3-97）稱為靜態(tài)最小二乘恒模算法，因為算法是使用K個數據組成的單個數據塊{x(k)}迭代的。一旦權向量w(k+1)計算出來，濾波輸出的新估計值y便可得到，并產生r(k+1)的新值。算法重復迭代，直至收斂。

與靜態(tài)最小二乘恒模算法不同，動態(tài)最小二乘恒模算法不是在一個靜態(tài)數據塊內迭代的。相反，它使用最新的K個數據組成的向量進行權向量更新，并且每隔K個樣本進行一次更新，即

則動態(tài)最小二乘恒模算法

式中，